Решите пожалуйста y=20tgx-20x+5pi-6 найдите наиб. значение при отрезке {-pi/4; pi/4}

Для нахождения наибольшего значения функции ( y = 20\tan(x) - 20x + 5\pi - 6 ) на отрезке ([- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]) нужно найти критические точки функции, которые лежат внутри этого отрезка. Сначала найдем производную функции ( y ): ( y' = 20 \sec^2(x) - 20 ). Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: ( 20 \sec^2(x) - 20 = 0 ), ( \sec^2(x) = 1 ), ( \sec(x) = \pm 1 ). Таким образом, критические точки находятся в точках ( x = \frac{\pi}{4} ) и ( x = -\frac{\pi}{4} ). Подставим эти точки в исходное уравнение и найдем значение функции в них: ( y(\frac{\pi}{4}) = 20 \tan(\frac{\pi}{4}) - 20 \cdot \frac{\pi}{4} + 5\pi - 6 = 20 \cdot 1 - 5\pi + 5\pi - 6 = 20 - 6 = 14 ), ( y(-\frac{\pi}{4}) = 20 \tan(-\frac{\pi}{4}) - 20 \cdot (-\frac{\pi}{4}) + 5\pi - 6 = 20 \cdot (-1) + 5\pi + 5\pi - 6 = -20 - 6 = -26 ). Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке ([- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]) равно 14.

Чтобы найти наибольшее значение функции ( y = 20\tan(x) - 20x + 5\pi - 6 ) на отрезке ([- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]), следуем следующим шагам:

1. Найдём производную функции

Для поиска точек экстремума функции, необходимо найти её производную:

[ y' = \frac{d}{dx}\left(20\tan(x) - 20x + 5\pi - 6\right) ]

Производная ( \tan(x) ) равна ( \sec^2(x) ), поэтому:

[ y' = 20\sec^2(x) - 20 ]

2. Найдём критические точки

Критические точки находятся из условия ( y' = 0 ):

[ 20\sec^2(x) - 20 = 0 ]

[ \sec^2(x) = 1 ]

Так как ( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} ), то ( \sec^2(x) = 1 ) означает, что ( \cos^2(x) = 1 ). Следовательно, ( \cos(x) = \pm 1 ).

На отрезке ([- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]), это происходит в точках ( x = 0 ).

3. Вычислим значения функции в критических точках и концах отрезка

Найдём значение функции в критических точках и концах отрезка:

• В точке ( x = -\frac{\pi}{4} ):

  [ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 20\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 20\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 5\pi - 6 ]

  [ = 20(-1) + 5\pi + 5\pi - 6 ]

  [ = -20 + 5\pi + 5\pi - 6 ]

  [ = 10\pi - 26 ]

• В точке ( x = 0 ):

  [ y(0) = 20\tan(0) - 20 \cdot 0 + 5\pi - 6 ]

  [ = 0 + 5\pi - 6 ]

  [ = 5\pi - 6 ]

• В точке ( x = \frac{\pi}{4} ):

  [ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 20\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 20\left(\frac{\pi}{4}\right) + 5\pi - 6 ]

  [ = 20(1) - 5\pi + 5\pi - 6 ]

  [ = 20 - 6 ]

  [ = 14 ]

4. Определим наибольшее значение

Сравниваем найденные значения:

• ( y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 10\pi - 26 )
• ( y(0) = 5\pi - 6 )
• ( y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 14 )

Наибольшее значение функции на отрезке ([- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]) равно ( 14 ), которое достигается в точке ( x = \frac{\pi}{4} ).

Для нахождения наибольшего значения функции y=20tg(x)-20x+5pi-6 на отрезке [-pi/4; pi/4] необходимо найти максимальное значение тангенса на данном интервале.

На отрезке [-pi/4; pi/4] тангенс имеет наибольшее значение в точке pi/4. Так как tg(pi/4) = 1, то максимальное значение функции будет равно: y(max) = 201 - 20pi/4 + 5pi - 6 y(max) = 20 - 5pi + 5pi - 6 y(max) = 20 - 6 y(max) = 14

Таким образом, наибольшее значение функции y=20tg(x)-20x+5pi-6 на отрезке [-pi/4; pi/4] равно 14.