Решите систему уравнения x^2=2y+3; x^2+6=2y+y^2

Рассмотрим систему уравнений:

1. ( x^2 = 2y + 3 )
2. ( x^2 + 6 = 2y + y^2 )

Наша задача — найти все пары ((x, y)), которые удовлетворяют обеим этим уравнениям. Решим систему поэтапно.

Шаг 1. Выразим (x^2) из первого уравнения.

Из первого уравнения сразу видно: [ x^2 = 2y + 3 ]

Шаг 2. Подставим выражение для (x^2) во второе уравнение.

Подставляем (x^2 = 2y + 3) во второе уравнение: [ (2y + 3) + 6 = 2y + y^2 ]

Упростим это уравнение: [ 2y + 9 = 2y + y^2 ]

Сократим (2y) с обеих сторон: [ 9 = y^2 ]

Шаг 3. Найдем значения (y).

Решая уравнение (y^2 = 9), получаем два корня: [ y = 3 \quad \text{или} \quad y = -3 ]

Шаг 4. Найдем соответствующие значения (x).

Теперь для каждого значения (y) найдем (x^2) с помощью первого уравнения (x^2 = 2y + 3).

1) Если (y = 3): [ x^2 = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 ] [ x = \pm 3 ]

2) Если (y = -3): [ x^2 = 2(-3) + 3 = -6 + 3 = -3 ] Но квадрат числа ((x^2)) не может быть отрицательным. Следовательно, при (y = -3) решений для (x) нет.

Шаг 5. Запишем окончательный ответ.

Итак, мы нашли все пары ((x, y)), которые удовлетворяют системе уравнений. Это: [ (x, y) = (3, 3) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-3, 3) ]

Чтобы решить систему уравнений:

1. ( x^2 = 2y + 3 ) (уравнение 1)
2. ( x^2 + 6 = 2y + y^2 ) (уравнение 2)

Начнем с первого уравнения. Мы можем выразить ( y ) через ( x ):

[ x^2 = 2y + 3 \implies 2y = x^2 - 3 \implies y = \frac{x^2 - 3}{2} ]

Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:

[ x^2 + 6 = 2\left(\frac{x^2 - 3}{2}\right) + \left(\frac{x^2 - 3}{2}\right)^2 ]

Упростим правую часть:

[ x^2 + 6 = (x^2 - 3) + \frac{(x^2 - 3)^2}{4} ]

Упростим уравнение:

[ x^2 + 6 = x^2 - 3 + \frac{(x^2 - 3)^2}{4} ]

Сокращаем ( x^2 ) с обеих сторон:

[ 6 = -3 + \frac{(x^2 - 3)^2}{4} ]

Прибавим 3 к обеим сторонам:

[ 9 = \frac{(x^2 - 3)^2}{4} ]

Умножим обе стороны на 4:

[ 36 = (x^2 - 3)^2 ]

Теперь извлечем квадратный корень:

[ x^2 - 3 = 6 \quad \text{или} \quad x^2 - 3 = -6 ]

Решим каждое из этих уравнений:

1. ( x^2 - 3 = 6 )

[ x^2 = 9 \implies x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 ]

1. ( x^2 - 3 = -6 )

[ x^2 = -3 \implies \text{нет действительных решений} ]

Теперь у нас есть два значения для ( x ): ( x = 3 ) и ( x = -3 ).

Теперь подставим эти значения в выражение для ( y ):

1. Для ( x = 3 ):

[ y = \frac{3^2 - 3}{2} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]

1. Для ( x = -3 ):

[ y = \frac{(-3)^2 - 3}{2} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]

Таким образом, мы получаем два решения для системы уравнений:

[ (3, 3) \quad \text{и} \quad (-3, 3) ]

Ответ: решения системы уравнений — это точки ( (3, 3) ) и ( (-3, 3) ).