Решите систему уравнений 27^x=9^y 81^x=3^y+1

Рассмотрим систему уравнений: [ 27^x = 9^y ] [ 81^x = 3^{y+1} ]

Для удобства, представим числа 27, 9 и 81 в виде степеней числа 3: [ 27 = 3^3 ] [ 9 = 3^2 ] [ 81 = 3^4 ]

Теперь перепишем уравнения системы, используя эти преобразования:

1. ( 27^x = 9^y ) [ (3^3)^x = (3^2)^y ] [ 3^{3x} = 3^{2y} ] Приравняем показатели степеней: [ 3x = 2y ] [ y = \frac{3x}{2} ]

2. ( 81^x = 3^{y+1} ) [ (3^4)^x = 3^{y+1} ] [ 3^{4x} = 3^{y+1} ] Приравняем показатели степеней: [ 4x = y + 1 ] Подставим значение ( y ) из первого уравнения: [ 4x = \frac{3x}{2} + 1 ]

Решим это уравнение: [ 4x = \frac{3x}{2} + 1 ] Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 8x = 3x + 2 ] Перенесем все члены, содержащие ( x ), в одну часть уравнения: [ 8x - 3x = 2 ] [ 5x = 2 ] [ x = \frac{2}{5} ]

Теперь найдем ( y ): [ y = \frac{3x}{2} ] [ y = \frac{3 \cdot \frac{2}{5}}{2} ] [ y = \frac{6}{10} ] [ y = \frac{3}{5} ]

Таким образом, решение системы уравнений: [ x = \frac{2}{5} ] [ y = \frac{3}{5} ]

Для решения данной системы уравнений преобразуем их к более удобному виду.

Из первого уравнения: 27^x = 9^y (3^3)^x = (3^2)^y 3^(3x) = 3^(2y) 3x = 2y

Из второго уравнения: 81^x = 3^y + 1 (3^4)^x = 3^y + 1 3^(4x) = 3^y + 1 4x = y + 1

Теперь подставим y из первого уравнения во второе: 4x = 3x + 1 x = 1

Подставим найденное значение x обратно в первое уравнение: 3 = 2y y = 3/2

Таким образом, решение системы уравнений: x = 1 y = 3/2.