Решите уравнение 4^(х)-3*2^(х)=4
Решите уравнение 4^(х)-3*2^(х)=4
Давайте решим уравнение (4^x - 3 \cdot 2^x = 4).
Сначала упростим выражение. Заметим, что (4^x) можно представить как ((2^2)^x = (2^x)^2). Таким образом, уравнение переписывается как:
[ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x = 4 ]
Теперь введем замену: пусть (y = 2^x). Тогда уравнение принимает вид:
[ y^2 - 3y = 4 ]
Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:
[ y^2 - 3y - 4 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу квадратного уравнения:
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где (a = 1), (b = -3), (c = -4). Подставим эти значения в формулу:
[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} ]
[ y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} ]
[ y = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} ]
[ y = \frac{3 \pm 5}{2} ]
Теперь найдем два значения (y):
Так как (y = 2^x), и (2^x) всегда положительно, то (y_2 = -1) не подходит, поскольку нет такого действительного (x), при котором (2^x = -1).
Таким образом, остается только (y = 4). Тогда:
[ 2^x = 4 ]
Поскольку (4) можно представить как (2^2), то:
[ 2^x = 2^2 ]
Следовательно, (x = 2).
Таким образом, решение уравнения (4^x - 3 \cdot 2^x = 4) — это (x = 2).
Решение: x = 2
Для решения данного уравнения сначала заметим, что можно представить 4 в виде 2^2. Тогда уравнение примет вид:
(2^2)^(x) - 3*2^(x) = 4
После этого воспользуемся свойствами степеней:
2^(2x) - 3*2^(x) = 4
Теперь введем замену: пусть t = 2^(x). Тогда уравнение примет вид:
t^2 - 3t = 4
Полученное квадратное уравнение можно решить с помощью обычных методов решения квадратных уравнений. Получим два корня:
t1 = 4 t2 = -1
Теперь вернемся к нашей замене t = 2^(x):
Для t1: 2^(x) = 4 => x = 2 Для t2: 2^(x) = -1 => нет решений, так как 2 в любой степени всегда положительное число
Итак, уравнение 4^(x) - 3*2^(x) = 4 имеет единственное решение x = 2.
