Решите уравнение √6-4x-x^2=x+4

Для решения уравнения (\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4), начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ) для переменной (x), поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а также (x + 4) должен быть неотрицательным, так как корень квадратный всегда неотрицательный.

1. Определение ОДЗ: [ 6 - 4x - x^2 \geq 0 ] Найдем корни квадратного трехчлена (6 - 4x - x^2): [ x^2 + 4x - 6 = 0 ] Используем дискриминант (D): [ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10} ] Таким образом, корни: (x_1 = -2 - \sqrt{10}) и (x_2 = -2 + \sqrt{10}).

   Подкоренное выражение неотрицательно на интервале ([-2 - \sqrt{10}, -2 + \sqrt{10}]).

   Также учитываем, что (x + 4 \geq 0): [ x \geq -4 ]

   Теперь находим пересечение интервалов: [ [-2 - \sqrt{10}, -2 + \sqrt{10}] \cap [-4, +\infty) ] Поскольку (-2 - \sqrt{10} < -4), пересечение будет: [ [-4, -2 + \sqrt{10}] ]

2. Решение уравнения: Возведем обе части уравнения в квадрат для устранения корня: [ (\sqrt{6 - 4x - x^2})^2 = (x + 4)^2 ] Получаем: [ 6 - 4x - x^2 = x^2 + 8x + 16 ] Приведем все к одному уравнению: [ 6 - 4x - x^2 = x^2 + 8x + 16 ] Переносим все в одну сторону: [ -4x - x^2 - 6 = x^2 + 8x + 16 ] [ -4x - x^2 - 6 - x^2 - 8x - 16 = 0 ] [ -2x^2 - 12x - 22 = 0 ] Разделим уравнение на -2: [ x^2 + 6x + 11 = 0 ]

   Найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8 ] Дискриминант отрицательный, следовательно, действительных корней нет.

3. Проверка интервалов: Поскольку уравнение (x^2 + 6x + 11 = 0) не имеет действительных корней, уравнение (\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4) не имеет решений на (x) в допустимом интервале ([-4, -2 + \sqrt{10}]).

Следовательно, уравнение (\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4) не имеет действительных решений.

Для начала перенесем все члены уравнения в одну сторону:

x^2 + x + √6 - 4x - x - 4 = 0

x^2 - 5x - 4 + √6 = 0

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

x^2 - 5x + (√6 - 4) = 0

Дискриминант D = 5^2 - 41(√6 - 4) = 25 + 16 - 4√6 = 41 - 4√6

Теперь найдем корни уравнения:

x1,2 = (5 ± √(41 - 4√6)) / 2

Таким образом, корни уравнения √6-4x-x^2=x+4 равны x1 = (5 + √(41 - 4√6)) / 2 и x2 = (5 - √(41 - 4√6)) / 2.