Решите уравнение (cos πx)/(x-2)=1/(x-2)

Для решения данного уравнения нужно привести его к общему знаменателю и выразить x.

(cos πx) / (x - 2) = 1 / (x - 2)

Поскольку обе части уравнения имеют общий знаменатель (x - 2), можно умножить обе части уравнения на этот знаменатель:

cos(πx) = 1

Теперь найдем значения x, при которых это уравнение выполняется. Косинус угла π равен -1, поэтому получаем:

-1 = 1

Это уравнение не имеет решений, так как -1 не равно 1. Значит, исходное уравнение (cos πx)/(x-2)=1/(x-2) не имеет решений.

Давайте решим уравнение

[ \frac{\cos(\pi x)}{x-2} = \frac{1}{x-2} ]

Это уравнение определено для всех ( x \neq 2 ), поскольку знаменатель ( x-2 ) не должен быть равен нулю.

Первый шаг в решении этого уравнения — умножить обе стороны на ( x-2 ), чтобы избавиться от дробей, при условии, что ( x \neq 2 ):

[ \cos(\pi x) = 1 ]

Теперь нам нужно решить уравнение (\cos(\pi x) = 1). Косинус равен 1, когда аргумент равен ( 2k\pi ), где ( k ) — целое число. Таким образом, мы имеем:

[ \pi x = 2k\pi ]

Разделим обе стороны на (\pi):

[ x = 2k ]

Таким образом, решения уравнения имеют вид ( x = 2k ), где ( k ) — целое число. Однако, мы должны учесть условие, что ( x \neq 2 ). Это означает, что ( x \neq 2 ) исключает значение ( k = 1 ), потому что это дает ( x = 2 ).

Таким образом, решениями уравнения являются все четные числа, кроме ( x = 2 ). То есть, ( x = \ldots, -4, 0, 4, 6, \ldots ).

Ответ: ( x = 2k ), где ( k ) — целое число, и ( k \neq 1 ).