Решите уравнение (х^2-1)^2+(х^2-6х-7)^2=0

Рассмотрим уравнение ((x^2 - 1)^2 + (x^2 - 6x - 7)^2 = 0).

Это уравнение представляет собой сумму квадратов двух выражений. Сумма квадратов двух чисел равна нулю только в том случае, если каждое из чисел равно нулю. Поэтому мы можем записать систему уравнений:

1. ( (x^2 - 1)^2 = 0 )
2. ( (x^2 - 6x - 7)^2 = 0 )

Рассмотрим первое уравнение:

[ (x^2 - 1)^2 = 0 ]

Это уравнение выполняется, если

[ x^2 - 1 = 0 ]

Решая это уравнение, получаем

[ x^2 = 1 ]

Следовательно, (x = 1) или (x = -1).

Теперь рассмотрим второе уравнение:

[ (x^2 - 6x - 7)^2 = 0 ]

Это уравнение выполняется, если

[ x^2 - 6x - 7 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем его корни с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) равен

[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2} ]

Получаем корни:

[ x_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7 ]

[ x_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1 ]

Теперь у нас есть потенциальные решения из первого уравнения: (x = 1) и (x = -1), и из второго уравнения: (x = 7) и (x = -1).

Сравнивая решения, мы видим, что только (x = -1) является решением, которое удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: (x = -1).

Данное уравнение представляет собой сумму квадратов двух выражений. Для того чтобы найти решение, необходимо каждое из этих выражений приравнять к нулю и найти корни.

1. (х^2-1)^2 = 0 Раскроем квадрат и решим полученное уравнение: х^4 - 2х^2 + 1 = 0 Получаем квадратное уравнение относительно х^2: D = (-2)^2 - 411 = 4 - 4 = 0 x^2 = -(-2) / 2*1 = 2 / 2 = 1 x = ±√1 x1 = 1, x2 = -1

2. (х^2-6х-7)^2 = 0 Раскроем квадрат и решим полученное уравнение: x^4 - 12x^3 + 49x^2 = 0 x^2(x^2 - 12x + 49) = 0 x^2(x - 7)(x - 7) = 0 x^2 = 0, x = 0 x = 7

Таким образом, уравнение (х^2-1)^2+(х^2-6х-7)^2=0 имеет два решения: x1 = 1, x2 = -1, x3 = 0, x4 = 7.