Решите уравнение (x-2)(x^2 +8x+16) = 7(x+4)

Решим уравнение ((x-2)(x^2 + 8x + 16) = 7(x+4)).

1. Левая часть уравнения:

   ((x-2)(x^2 + 8x + 16)) можно упростить. Заметим, что (x^2 + 8x + 16) является полным квадратом: [ x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2 ] Таким образом, левая часть уравнения становится: [ (x-2)(x+4)^2 ]

2. Правая часть уравнения:

   Правая часть уравнения равна (7(x+4)).

3. Равенство левой и правой частей:

   Теперь у нас есть уравнение: [ (x-2)(x+4)^2 = 7(x+4) ]

4. Решим уравнение:

   Перенесём всё в левую часть уравнения: [ (x-2)(x+4)^2 - 7(x+4) = 0 ]

   Вынесем общий множитель ((x+4)): [ (x+4)((x-2)(x+4) - 7) = 0 ]

   Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

   • (x+4 = 0)

     Решая это уравнение, получаем: [ x = -4 ]

   • ((x-2)(x+4) - 7 = 0)

     Раскроем скобки: [ x^2 + 2x - 8 - 7 = 0 ] [ x^2 + 2x - 15 = 0 ]

     Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где (a = 1), (b = 2), (c = -15).

     Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 ]

     [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 8}{2} ]

     Получаем два корня: [ x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 ] [ x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 ]

5. Ответ:

   Уравнение имеет три решения: (x = -4), (x = 3), (x = -5).

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки:

(x-2)(x^2 + 8x + 16) = 7(x+4)

x(x^2 + 8x + 16) - 2(x^2 + 8x + 16) = 7x + 28

x^3 + 8x^2 + 16x - 2x^2 - 16x - 32 = 7x + 28

x^3 + 6x^2 - 39 = 7x + 28

Подведем все члены уравнения к нулю:

x^3 + 6x^2 - 7x - 67 = 0

Теперь попробуем найти корни уравнения методом подбора или применив методы алгебраического анализа. Решение уравнения даст нам значения x, которые удовлетворяют начальному условию.