Решите задачу по теории вероятности: Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем P=0,9 быть уверенным, что герб выпадет хотя бы один раз.
Решите задачу по теории вероятности: Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем P=0,9 быть уверенным, что герб выпадет хотя бы один раз.
Для решения данной задачи по теории вероятности нам необходимо найти минимальное количество бросков монеты, при котором вероятность выпадения герба хотя бы один раз будет не меньше заданного значения P=0,9.
Пусть вероятность выпадения герба при одном броске монеты равна p. Тогда вероятность того, что герб не выпадет ни разу за n бросков, можно выразить как (1-p)^n.
Следовательно, вероятность того, что герб выпадет хотя бы один раз за n бросков, равна 1 - вероятность того, что герб не выпадет ни разу за n бросков, то есть 1 - (1-p)^n.
Мы хотим, чтобы эта вероятность была не меньше заданной P=0,9, то есть 1 - (1-p)^n >= 0,9.
Решив данное неравенство, мы найдем минимальное количество бросков монеты, при котором вероятность выпадения герба хотя бы один раз будет не меньше 0,9.
Для решения этой задачи используем понятие дополнения события и формулу вероятности для независимых событий. Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.
Определение события: Нам нужно, чтобы герб выпал хотя бы один раз. Событие, противоположное этому, — это когда герб не выпадает ни разу. То есть, если мы бросаем монету ( n ) раз, и герб ни разу не выпал, то это значит, что все ( n ) бросков выпали решкой.
Вероятность противоположного события: Вероятность того, что монета выпадет решкой в одном броске, равна 0.5 (при условии, что монета честная). Следовательно, вероятность того, что все ( n ) бросков выпадут решкой, будет ( (0.5)^n ).
Использование формулы дополнения: Вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб, будет дополнять вероятность противоположного события до 1. То есть: [ P(\text{хотя бы один герб}) = 1 - P(\text{ни одного герба}) ] [ P(\text{хотя бы один герб}) = 1 - (0.5)^n ]
Необходимое условие: Нам нужно, чтобы эта вероятность была не меньше 0.9: [ 1 - (0.5)^n \geq 0.9 ]
Решение неравенства: [ (0.5)^n \leq 0.1 ]
Логарифмирование: Для решения этого неравенства удобно использовать логарифмы. Применим логарифм по основанию 10 (или натуральный — результат будет тот же): [ \log{10}((0.5)^n) \leq \log{10}(0.1) ] [ n \cdot \log{10}(0.5) \leq \log{10}(0.1) ] Поскольку (\log{10}(0.5)) — отрицательное число, неравенство меняет знак: [ n \geq \frac{\log{10}(0.1)}{\log_{10}(0.5)} ]
Вычисления: [ \log{10}(0.1) = -1 ] [ \log{10}(0.5) \approx -0.3010 ] [ n \geq \frac{-1}{-0.3010} \approx 3.32 ]
Поскольку число бросков ( n ) должно быть целым, округляем до ближайшего большего целого значения. Таким образом, ( n = 4 ).
Итак, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0.9 быть уверенным, что герб выпадет хотя бы один раз, нужно бросить монету минимум 4 раза.
