С помощью теоремы Безу определите остаток R (x) от деления многочленв A(x) на многочлен B(x) , если a)A(x)=5x^3-4x^2-12x-3 B(x) =x+1
b) A(x)=(x-1)^9 B(x)=x-2
С помощью теоремы Безу определите остаток R (x) от деления многочленв A(x) на многочлен B(x) , если a)A(x)=5x^3-4x^2-12x-3 B(x) =x+1
b) A(x)=(x-1)^9 B(x)=x-2
a) Для определения остатка от деления многочленов A(x) на B(x) сначала найдем частное от деления A(x) на B(x). Для этого разделим многочлен A(x) на многочлен B(x):
5x^3 - 4x^2 - 12x - 3 : x + 1 = 5x^2 - 9x + 1
Далее умножим частное на B(x) и вычтем результат из A(x) для нахождения остатка R(x):
5x^2 - 9x + 1 * (x + 1) = 5x^3 - 9x^2 + x + 5x^2 - 9x + 1 = 5x^3 - 4x^2 - 12x + 1
Остаток от деления многочлена A(x) на многочлен B(x) равен R(x) = 1.
b) Аналогично для второго случая:
(x - 1)^9 : x - 2 = (x - 1)^8 + 2(x - 1)^7 + ... + 2^8
Многочлен B(x) = x - 2, поэтому остаток от деления многочлена A(x) на многочлен B(x) равен последнему члену разложения, то есть R(x) = 2^8 = 256.
Для ответа на ваш вопрос воспользуемся теоремой Безу. Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена ( A(x) ) на многочлен ( B(x) ) (при условии, что степень ( B(x) ) равна 1) равен значению многочлена ( A(x) ) в точке, полученной из корня многочлена ( B(x) = 0 ).
a) Рассмотрим многочлены ( A(x) = 5x^3 - 4x^2 - 12x - 3 ) и ( B(x) = x + 1 ).
Для начала найдём корень многочлена ( B(x) ): [ x + 1 = 0 ] [ x = -1 ]
Теперь подставим ( x = -1 ) в многочлен ( A(x) ): [ A(-1) = 5(-1)^3 - 4(-1)^2 - 12(-1) - 3 ] [ A(-1) = -5 - 4 + 12 - 3 ] [ A(-1) = 0 ]
Остаток от деления ( A(x) ) на ( B(x) ) равен ( A(-1) = 0 ).
b) Теперь рассмотрим ( A(x) = (x-1)^9 ) и ( B(x) = x - 2 ).
Аналогично найдём корень многочлена ( B(x) ): [ x - 2 = 0 ] [ x = 2 ]
Теперь подставим ( x = 2 ) в многочлен ( A(x) ): [ A(2) = (2 - 1)^9 ] [ A(2) = 1^9 ] [ A(2) = 1 ]
Остаток от деления ( A(x) ) на ( B(x) ) равен ( A(2) = 1 ).
Итак, ответы: a) Остаток от деления ( A(x) ) на ( B(x) ) равен 0. b) Остаток от деления ( A(x) ) на ( B(x) ) равен 1.
