Сечение шара плоскостью отстоящей от центра на расстоянии 3 см, имеет радиус 4 см. Найти площадь сферы
Сечение шара плоскостью отстоящей от центра на расстоянии 3 см, имеет радиус 4 см. Найти площадь сферы
Для решения этой задачи важно разобраться в геометрических соотношениях между элементами сферы и плоскостью, которая её секет. Ведь сечение шара плоскостью есть окружность.
Нахождение радиуса сферы: Пусть радиус сферы будет ( R ), а расстояние от центра сферы до плоскости сечения ( h = 3 ) см. Радиус окружности сечения дан как ( r = 4 ) см.
Из геометрии мы знаем, что если плоскость секет сферу, не проходя через её центр, то возникает окружность, радиус ( r ) которой связан с радиусом сферы ( R ) и расстоянием от центра сферы до плоскости ( h ) по теореме Пифагора: [ R^2 = r^2 + h^2 ] Подставляем известные значения: [ R^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 ] Таким образом, ( R = \sqrt{25} = 5 ) см.
Нахождение площади сферы: Площадь поверхности сферы рассчитывается по формуле: [ S = 4\pi R^2 ] Подставляем ( R = 5 ) см: [ S = 4 \pi (5^2) = 4 \pi \cdot 25 = 100\pi ] Таким образом, площадь сферы составляет ( 100\pi ) квадратных сантиметров.
Эти вычисления показывают, что если сечение шара плоскостью, отстоящей на 3 см от центра, имеет радиус 4 см, то радиус самой сферы составляет 5 см, а площадь поверхности сферы — ( 100\pi ) квадратных сантиметров.
Площадь сферы равна 4πR^2, где R - радиус сферы. В данном случае R = 4 + 3 = 7 см. Подставляем значение R и получаем: S = 4π 7^2 = 4π 49 = 196π см^2.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство сечения шара плоскостью. При сечении шара плоскостью на расстоянии 3 см от центра мы получаем круг с радиусом 4 см.
Площадь круга вычисляется по формуле S = πr^2, где r - радиус круга. В данном случае радиус круга равен 4 см, поэтому площадь круга равна S = π * 4^2 = 16π см^2.
Теперь, чтобы найти площадь сферы, из которой было сделано это сечение, мы можем воспользоваться формулой для площади поверхности сферы: S = 4πR^2, где R - радиус сферы.
Так как круг с радиусом 4 см был получен сечением сферы на расстоянии 3 см от центра, то радиус сферы будет равен сумме радиуса круга и расстояния от центра до плоскости сечения: R = 4 + 3 = 7 см.
Подставив найденное значение радиуса в формулу площади поверхности сферы, получим S = 4π * 7^2 = 196π см^2.
Итак, площадь сферы, из которой было сделано сечение, равна 196π квадратных сантиметров.
