Сформулировать условия, при которых треугольники ABC и A1B1C1 были бы подобны по первому признаку

Два треугольника ABC и A1B1C1 будут подобны по первому признаку, если у них совпадают соответственные углы.

То есть, условиями подобия треугольников ABC и A1B1C1 по первому признаку будут:

1. Угол A равен углу A1.
2. Угол B равен углу B1.
3. Угол C равен углу C1.

Если выполняются данные условия, то можно сделать вывод о подобии треугольников ABC и A1B1C1.

Для треугольников (ABC) и (A_1B_1C_1) подобие по первому признаку (по двум углам) означает, что два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. Давайте рассмотрим это условие более подробно.

Условия подобия треугольников по первому признаку

1. Равенство двух углов: Чтобы треугольники (ABC) и (A_1B_1C_1) были подобны по первому признаку, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

   • (\angle A = \angle A_1) и (\angle B = \angle B_1), или
   • (\angle A = \angle A_1) и (\angle C = \angle C_1), или
   • (\angle B = \angle B_1) и (\angle C = \angle C_1).

   То есть, достаточно, чтобы два угла одного треугольника были равны двум углам другого треугольника.

2. Третий угол автоматически равен: Так как сумма углов любого треугольника равна (180^\circ), если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то и третий угол также будет равен. Это следует из равенства сумм углов: [ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ, ] [ \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ. ] Если (\angle A = \angle A_1) и (\angle B = \angle B_1), то (\angle C) автоматически будет равен (\angle C_1).

Примеры условий подобия

Рассмотрим несколько примеров, когда треугольники (ABC) и (A_1B_1C_1) будут подобны по первому признаку:

• Пример 1: Пусть (\angle A = 60^\circ), (\angle B = 70^\circ) в треугольнике (ABC) и (\angle A_1 = 60^\circ), (\angle B_1 = 70^\circ) в треугольнике (A_1B_1C_1). Тогда треугольники (ABC) и (A_1B_1C_1) подобны, так как два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.

• Пример 2: Пусть (\angle A = 45^\circ), (\angle C = 90^\circ) в треугольнике (ABC) и (\angle A_1 = 45^\circ), (\angle C_1 = 90^\circ) в треугольнике (A_1B_1C_1). Тогда треугольники (ABC) и (A_1B_1C_1) будут подобны, так как два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.

Заключение

Таким образом, для подобия треугольников (ABC) и (A_1B_1C_1) по первому признаку необходимо и достаточно, чтобы два угла одного треугольника были равны двум углам другого треугольника. Это условие гарантирует, что третий угол также будет равен, и треугольники будут подобны.