Sin^2x + 5sinx +4 = 0

Для того чтобы решить уравнение sin^2x + 5sinx + 4 = 0, мы можем воспользоваться методом подстановки. Обозначим sinx за t. Тогда уравнение будет выглядеть как t^2 + 5t + 4 = 0.

Далее мы можем решить это квадратное уравнение, найдя его корни. Дискриминант этого уравнения равен D = 5^2 - 4*4 = 25 - 16 = 9. Таким образом, у нас есть два корня: t1 = (-5 + √9) / 2 = (-5 + 3) / 2 = -1 и t2 = (-5 - √9) / 2 = (-5 - 3) / 2 = -4.

Теперь мы можем вернуться к изначальной подстановке и найти значения x. Из sinx = t мы получаем, что sinx = -1 и sinx = -4. Решения для первого уравнения: x = π/2 и x = 3π/2. Решения для второго уравнения: x = -π/2 и x = -3π/2.

Таким образом, уравнение sin^2x + 5sinx + 4 = 0 имеет четыре решения: x = π/2, x = 3π/2, x = -π/2 и x = -3π/2.

Решим уравнение (\sin^2x + 5\sinx + 4 = 0).

Это уравнение является квадратным относительно (\sin x). Мы можем ввести замену переменной: положим (y = \sin x). Тогда уравнение перепишется в виде:

[ y^2 + 5y + 4 = 0. ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем его корни, используя формулу для корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}, ]

где (a = 1), (b = 5), (c = 4).

Подставим значения:

[ y = \frac{{-5 \pm \sqrt{{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}}}{2 \cdot 1}, ]

[ y = \frac{{-5 \pm \sqrt{{25 - 16}}}}{2}, ]

[ y = \frac{{-5 \pm \sqrt{9}}}{2}. ]

Теперь вычислим корни:

[ y_1 = \frac{{-5 + 3}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1, ]

[ y_2 = \frac{{-5 - 3}}{2} = \frac{{-8}}{2} = -4. ]

Таким образом, у нас есть два потенциальных решения для (\sin x): (y_1 = -1) и (y_2 = -4).

Однако, (\sin x) может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, (y_2 = -4) не является допустимым решением в контексте тригонометрических функций.

Остается единственное решение: (\sin x = -1).

Теперь найдем все значения (x), при которых (\sin x = -1). Это происходит в точке (-\frac{\pi}{2} + 2k\pi), где (k) — любое целое число. Таким образом, общее решение уравнения:

[ x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Это и есть решение исходного уравнения.