Sin^2x+sin2x=1 не могу решить ((

Для решения уравнения sin^2x + sin2x = 1 можно воспользоваться формулой приведения для синуса удвоенного угла: sin2x = 2sinxcosx. Подставив это выражение в уравнение, получим sin^2x + 2sinxcosx = 1. Преобразуем это уравнение к виду sin^2x + 2sinx*cosx - 1 = 0, затем решим квадратное уравнение относительно sinx.

Конечно, давайте решим уравнение (\sin^2{x} + \sin{2x} = 1).

Шаг 1: Заметим, что (\sin{2x}) можно выразить через (\sin{x}) и (\cos{x}) с использованием тригонометрической идентичности: [ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}. ]

Шаг 2: Подставим это в исходное уравнение: [ \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} = 1. ]

Шаг 3: Воспользуемся основной тригонометрической идентичностью (\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}) и подставим её в уравнение: [ \sin^2{x} + 2\sin{x}(1 - \sin^2{x})^{1/2} = 1. ]

Шаг 4: Обозначим (\sin{x} = t), где (t) находится в интервале ([-1, 1]). Тогда уравнение принимает вид: [ t^2 + 2t(1 - t^2)^{1/2} = 1. ]

Шаг 5: Решим это уравнение относительно (t). Внесем (t) в квадратный корень: [ t^2 + 2t \sqrt{1 - t^2} = 1. ]

Шаг 6: Изолируем квадратный корень: [ 2t \sqrt{1 - t^2} = 1 - t^2. ]

Шаг 7: Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы убрать квадратный корень: [ (2t \sqrt{1 - t^2})^2 = (1 - t^2)^2, ] [ 4t^2(1 - t^2) = (1 - t^2)^2. ]

Шаг 8: Раскроем скобки: [ 4t^2 - 4t^4 = 1 - 2t^2 + t^4. ]

Шаг 9: Приведем все к одному виду и перенесем все члены на одну сторону уравнения: [ 4t^2 - 4t^4 - 1 + 2t^2 - t^4 = 0, ] [ -5t^4 + 6t^2 - 1 = 0. ]

Шаг 10: Решим это уравнение относительно (t^2). Обозначим (u = t^2), тогда уравнение принимает вид: [ -5u^2 + 6u - 1 = 0. ]

Шаг 11: Решим квадратное уравнение относительно (u): [ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где (a = -5), (b = 6), (c = -1): [ u = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-10}, ] [ u = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{-10}, ] [ u = \frac{-6 \pm 4}{-10}. ]

Шаг 12: Найдем оба решения: [ u_1 = \frac{-6 + 4}{-10} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}, ] [ u_2 = \frac{-6 - 4}{-10} = \frac{-10}{-10} = 1. ]

Шаг 13: Вернемся к (t): [ t^2 = \frac{1}{5} \text{ или } t^2 = 1. ]

Шаг 14: Найдем (t): [ t = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \text{ или } t = \pm 1. ]

Шаг 15: Теперь вернемся к (\sin{x}): [ \sin{x} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \text{ или } \sin{x} = \pm 1. ]

Шаг 16: Найдем соответствующие значения (x):

1. (\sin{x} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}): [ x = \arcsin{\left(\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\right)} + 2k\pi \text{ или } x = \pi - \arcsin{\left(\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\right)} + 2k\pi, ] где (k \in \mathbb{Z}).

2. (\sin{x} = \pm 1): [ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ или } x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, ] где (k \in \mathbb{Z}).

Таким образом, решения уравнения (\sin^2{x} + \sin{2x} = 1) включают: [ x = \arcsin{\left(\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\right)} + 2k\pi, \, x = \pi - \arcsin{\left(\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\right)} + 2k\pi, \, x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, ] где (k \in \mathbb{Z}).

Для решения уравнения sin^2x + sin2x = 1 можно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Начнем с разложения sin2x через sinx и cosx: sin2x = 2sinx*cosx

Подставим это выражение в уравнение: sin^2x + 2sinx*cosx = 1

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2x + cos^2x = 1: sin^2x + 2sinx*cosx = sin^2x + cos^2x

Выразим cos^2x через sinx с использованием этого тождества: sin^2x + 2sinxcosx = sin^2x + (1 - sin^2x) sin^2x + 2sinxcosx = 1

Теперь у нас есть уравнение: 2sinxcosx = 1 - sin^2x sin2x = 2sinxcosx

Подставим sin2x = 1 - sin^2x в последнее уравнение: 1 - sin^2x = 2sinxcosx sin^2x + 2sinxcosx - 1 = 0

Это уравнение можно решить, используя методы решения квадратных уравнений или графический метод. Полученные решения помогут найти значения переменной x, удовлетворяющие исходному тригонометрическому уравнению sin^2x + sin2x = 1.