Sin54*cos24 -sin 24*cos 54/ cos 57*cos 27+ sin 57*sin 27

Для решения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Выражение, которое нужно упростить, выглядит следующим образом:

[ \frac{\sin 54^\circ \cos 24^\circ - \sin 24^\circ \cos 54^\circ}{\cos 57^\circ \cos 27^\circ + \sin 57^\circ \sin 27^\circ} ]

Числитель

В числителе мы имеем разность произведений синусов и косинусов:

[ \sin 54^\circ \cos 24^\circ - \sin 24^\circ \cos 54^\circ ]

Это выражение соответствует формуле для разности синусов:

[ \sin A \cos B - \sin B \cos A = \sin(A - B) ]

То есть:

[ \sin 54^\circ \cos 24^\circ - \sin 24^\circ \cos 54^\circ = \sin(54^\circ - 24^\circ) = \sin 30^\circ ]

А мы знаем, что (\sin 30^\circ = \frac{1}{2}).

Знаменатель

В знаменателе у нас сумма произведений косинусов и синусов:

[ \cos 57^\circ \cos 27^\circ + \sin 57^\circ \sin 27^\circ ]

Это соответствует формуле для косинуса разности:

[ \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B) ]

Таким образом:

[ \cos 57^\circ \cos 27^\circ + \sin 57^\circ \sin 27^\circ = \cos(57^\circ - 27^\circ) = \cos 30^\circ ]

А мы знаем, что (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}).

Результат

Теперь мы можем подставить найденные значения в исходное выражение:

[ \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Для упрощения результата можно домножить числитель и знаменатель на (\sqrt{3}):

[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} ]

Таким образом, значение данного выражения равно (\frac{\sqrt{3}}{3}).

Для расчета данного выражения сначала необходимо вычислить значения синусов и косинусов углов 24, 27, 54 и 57 градусов. Затем подставить их в формулу и провести необходимые вычисления.

Сначала вычислим значения синусов и косинусов углов:

sin(24) ≈ 0.4067 cos(24) ≈ 0.9135

sin(27) ≈ 0.4540 cos(27) ≈ 0.8910

sin(54) ≈ 0.8090 cos(54) ≈ 0.5878

sin(57) ≈ 0.8387 cos(57) ≈ 0.5446

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

sin(54)cos(24) - sin(24)cos(54) / cos(57)cos(27) + sin(57)sin(27)

= 0.80900.9135 - 0.40670.5878 / 0.83870.5446 + 0.45400.8910

= 0.7392 - 0.2391 / 0.4565 + 0.4049

= 0.5001 / 0.8614

≈ 0.5807

Таким образом, значение данного выражения равно приблизительно 0.5807.