Сколькими способами можно распределить между 8 работниками автосервиса премии в 100,500 и 1000 рублей?

Для решения задачи о распределении премий среди 8 работников автосервиса важно учитывать, что премии различаются по размеру, а значит, кажется важным, кому и какая премия достанется.

У нас есть три различных премии: 100, 500 и 1000 рублей. Первым делом нам нужно выбрать среди 8 работников того, кто получит премию в 100 рублей. Это можно сделать 8 способами, так как у нас 8 кандидатов на эту премию.

Далее, нужно выбрать работника, который получит премию в 500 рублей. Так как один из работников уже получил премию в 100 рублей, на эту роль остаётся 7 кандидатов. Следовательно, выбрать кого-то на эту роль можно 7 способами.

Наконец, выбираем работника для премии в 1000 рублей. Теперь доступных работников остаётся всего 6, так как двое уже получили свои премии. Выбор для этой премии можно сделать 6 способами.

Чтобы найти общее количество способов распределить три разные премии между восемью работниками, перемножаем количество способов выбора для каждой премии:

[ 8 \times 7 \times 6 = 336 ]

Таким образом, распределить три разные премии между восемью работниками можно 336 различными способами.

Для решения данной задачи используем комбинаторику. Сначала найдем общее количество способов распределить премии между 8 работниками. Поскольку каждая премия может быть выдана любому из 8 работников, общее количество способов будет равно 8 в степени 3 (8^3 = 512).

Теперь посчитаем количество способов распределения премий так, чтобы каждый работник получил хотя бы одну премию. Для этого можем использовать принцип включения-исключения. Пусть A_i - событие, что i-ый работник не получил ни одной премии. Тогда количество способов, когда хотя бы один работник не получил премию, равно сумме по всем i от 1 до 8 (-1)^i С(8, i) (8-i)^3, где C(8, i) - количество сочетаний из 8 по i.

Таким образом, общее количество способов распределить премии между 8 работниками так, чтобы каждый получил хотя бы одну премию, равно 512 - сумма по i от 1 до 8 (-1)^i C(8, i) (8-i)^3.

После вычисления этой суммы можно найти количество способов распределить премии между 8 работниками, не обязательно каждый получит хотя бы одну премию, как разность общего количества способов и количества способов, когда хотя бы один работник не получил премию.