Скорость движения точки изменяется по закону V=36t-12t² Найдите путь, пройденный точкой от начала дыижения...

Чтобы найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки, нужно сначала определить время, когда точка останавливается. Для этого приравняем скорость к нулю:

[ V = 36t - 12t^2 = 0 ]

Решим это уравнение:

[ 12t(3 - t) = 0 ]

Это уравнение имеет два корня: ( t = 0 ) и ( t = 3 ). Точка останавливается в ( t = 3 ) секунды.

Теперь найдем путь, пройденный точкой, используя интеграл скорости:

[ S = \int_0^3 V(t) \, dt = \int_0^3 (36t - 12t^2) \, dt ]

Вычислим интеграл:

[ S = \left[ 18t^2 - 4t^3 \right]_0^3 ]

Подставим пределы:

[ S = (18 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3^3) - (18 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0^3) ] [ S = (18 \cdot 9 - 4 \cdot 27) ] [ S = 162 - 108 = 54 ]

Таким образом, путь, пройденный точкой, равен ( 54 ) метра.

Для решения задачи определим путь, пройденный точкой, используя формулу скорости ( V(t) = 36t - 12t^2 ). Мы разберем это пошагово.

1. Определим время остановки

Точка останавливается, когда её скорость становится равной нулю. Для этого приравняем выражение ( V(t) ) к нулю:

[ V(t) = 36t - 12t^2 = 0 ]

Вынесем ( t ) за скобки:

[ t(36 - 12t) = 0 ]

Решим уравнение. У нас два множителя, поэтому:

[ t = 0 \quad \text{или} \quad 36 - 12t = 0 ]

Первый корень (( t = 0 )) соответствует началу движения, а второй корень найдем:

[ 36 - 12t = 0 \quad \Rightarrow \quad 12t = 36 \quad \Rightarrow \quad t = 3 ]

Таким образом, точка останавливается через ( t = 3 ) секунды.

2. Найдем путь как интеграл от скорости

Путь ( S ) находится как интеграл от скорости по времени:

[ S = \int{0}^{t{\text{ост}}} V(t) \, dt ]

Подставим выражение ( V(t) = 36t - 12t^2 ) и пределы интегрирования от ( t = 0 ) до ( t = 3 ):

[ S = \int_{0}^{3} (36t - 12t^2) \, dt ]

3. Вычислим интеграл

Разделим интеграл на два слагаемых:

[ S = \int{0}^{3} 36t \, dt - \int{0}^{3} 12t^2 \, dt ]

Первое слагаемое:

[ \int 36t \, dt = 36 \cdot \frac{t^2}{2} = 18t^2 ]

Находим значение на отрезке ( [0; 3] ):

[ 18t^2 \Big|_0^3 = 18 \cdot 3^2 - 18 \cdot 0^2 = 18 \cdot 9 = 162 ]

Второе слагаемое:

[ \int 12t^2 \, dt = 12 \cdot \frac{t^3}{3} = 4t^3 ]

Находим значение на отрезке ( [0; 3] ):

[ 4t^3 \Big|_0^3 = 4 \cdot 3^3 - 4 \cdot 0^3 = 4 \cdot 27 = 108 ]

4. Найдем полный путь

Теперь вычтем второе слагаемое из первого:

[ S = 162 - 108 = 54 ]

Ответ:

Путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки, равен ( \mathbf{54} ) метров.

Дано уравнение скорости точки ( V(t) = 36t - 12t^2 ). Для нахождения пути, пройденного точкой от начала движения до её остановки, сначала определим время остановки точки, а затем вычислим пройденный путь.

Шаг 1: Найдем время остановки

Точка остановится, когда скорость станет равной нулю: [ V(t) = 0 ] Подставим уравнение скорости: [ 36t - 12t^2 = 0 ] Вынесем общий множитель: [ 12t(3 - t) = 0 ] Это уравнение имеет два решения:

1. ( t = 0 ) (начальный момент времени)
2. ( 3 - t = 0 ) => ( t = 3 ) (время остановки)

Шаг 2: Найдем пройденный путь

Путь, пройденный точкой, можно найти, используя интеграл от скорости по времени: [ S = \int_{t_1}^{t_2} V(t) \, dt ] Где ( t_1 = 0 ) и ( t_2 = 3 ).

Подставим уравнение скорости: [ S = \int_{0}^{3} (36t - 12t^2) \, dt ]

Теперь вычислим интеграл: [ S = \int{0}^{3} 36t \, dt - \int{0}^{3} 12t^2 \, dt ]

Вычислим первый интеграл: [ \int 36t \, dt = 18t^2 ] На отрезке от ( 0 ) до ( 3 ): [ \left[ 18t^2 \right]_{0}^{3} = 18 \cdot 3^2 - 18 \cdot 0^2 = 18 \cdot 9 = 162 ]

Теперь вычислим второй интеграл: [ \int 12t^2 \, dt = 4t^3 ] На отрезке от ( 0 ) до ( 3 ): [ \left[ 4t^3 \right]_{0}^{3} = 4 \cdot 3^3 - 4 \cdot 0^3 = 4 \cdot 27 = 108 ]

Теперь подставим результаты в выражение для пути: [ S = 162 - 108 = 54 ]

Ответ

Таким образом, путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки, равен ( 54 ) единицам расстояния.