Сократите дробь 17+2корень30/корень15+копень2

Для сокращения данной дроби, нужно использовать метод рационализации знаменателя. Для начала выразим корень 30 как корень из произведения двух квадратов простых чисел: 30 = 2 3 5. Таким образом, корень 30 = корень(2 3 5) = корень2 корень3 корень5. Также нам известно, что корень 15 = корень(3 5) = корень3 корень5. Подставим это в исходное выражение:

(17 + 2√(2 3 5)) / (√(3 * 5) + √2) = (17 + 2√(2)√(3)√(5)) / (√(3)√(5) + √2) = (17 + 2√6√10) / (√15 + √2).

Теперь, чтобы рационализировать знаменатель, умножим его на сопряженное выражение: (√15 - √2). Получим:

(17 + 2√6√10)(√15 - √2) / ((√15 + √2)(√15 - √2)) = (17√15 - 17√2 + 2√6√10√15 - 2√6√10√2) / (15 - 2) = (17√15 - 17√2 + 2√90 - 2√12) / 13 = (17√15 - 17√2 + 6√10 - 4√3) / 13.

Таким образом, сокращенная дробь равна (17√15 - 17√2 + 6√10 - 4√3) / 13.

Для сокращения данной дроби нужно перейти к рациональному виду.

Чтобы упростить выражение (\frac{17 + 2\sqrt{30}}{\sqrt{15} + \sqrt{2}}), следуем следующим шагам:

1. Рационализация знаменателя: Для упрощения дроби со знаменателем, содержащим корни, применяется метод рационализации. Это включает умножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение для (\sqrt{15} + \sqrt{2}) является (\sqrt{15} - \sqrt{2}).

2. Умножение числителя и знаменателя: [ \frac{17 + 2\sqrt{30}}{\sqrt{15} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{15} - \sqrt{2}}{\sqrt{15} - \sqrt{2}} = \frac{(17 + 2\sqrt{30})(\sqrt{15} - \sqrt{2})}{(\sqrt{15} + \sqrt{2})(\sqrt{15} - \sqrt{2})} ]

3. Раскрытие скобок в знаменателе: Используя формулу разности квадратов (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)), где (a = \sqrt{15}) и (b = \sqrt{2}): [ (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{2})^2 = 15 - 2 = 13 ]

4. Раскрытие скобок в числителе: [ (17 + 2\sqrt{30})(\sqrt{15} - \sqrt{2}) = 17\sqrt{15} - 17\sqrt{2} + 2\sqrt{30}\sqrt{15} - 2\sqrt{30}\sqrt{2} ]

5. Упрощение выражений с корнями:

   • (2\sqrt{30}\sqrt{15} = 2\sqrt{450} = 2 \times \sqrt{225 \times 2} = 2 \times 15\sqrt{2} = 30\sqrt{2})
   • (2\sqrt{30}\sqrt{2} = 2\sqrt{60} = 2 \times \sqrt{4 \times 15} = 4\sqrt{15})

   Теперь числитель можно переписать как: [ 17\sqrt{15} - 17\sqrt{2} + 30\sqrt{2} - 4\sqrt{15} ]

6. Сумма подобных членов: [ (17\sqrt{15} - 4\sqrt{15}) + (-17\sqrt{2} + 30\sqrt{2}) = 13\sqrt{15} + 13\sqrt{2} ]

7. Запись конечного упрощенного выражения: [ \frac{13\sqrt{15} + 13\sqrt{2}}{13} = \sqrt{15} + \sqrt{2} ]

Таким образом, упрощенное выражение дроби (\frac{17 + 2\sqrt{30}}{\sqrt{15} + \sqrt{2}}) будет равно (\sqrt{15} + \sqrt{2}).