Сократите дробь n^2-n-1/n^4-n^3-n^2

Чтобы сократить дробь (\frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2}), начнем с разложения числителя и знаменателя на множители.

Шаг 1: Разложим числитель. Числитель: (n^2 - n - 1).

Для разложения этого квадратного трёхчлена будем использовать дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5. ] Корни уравнения (n^2 - n - 1 = 0) находятся по формуле: [ n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. ] Таким образом, числитель можно записать в виде: [ n^2 - n - 1 = \left(n - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\left(n - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right). ]

Шаг 2: Разложим знаменатель. Знаменатель: (n^4 - n^3 - n^2). Можно вынести общий множитель (n^2): [ n^4 - n^3 - n^2 = n^2(n^2 - n - 1). ]

Шаг 3: Сокращение дроби. Теперь подставим разложения в дробь: [ \frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2} = \frac{n^2 - n - 1}{n^2(n^2 - n - 1)}. ] При условии, что (n^2 - n - 1 \neq 0) (то есть (n \neq \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2})), мы можем сократить на (n^2 - n - 1): [ \frac{1}{n^2}. ]

Таким образом, окончательный ответ на вопрос: [ \frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2} = \frac{1}{n^2}, \quad \text{при } n \neq \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. ]

Чтобы сократить дробь (\frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2}), необходимо выполнить разложение числителя и знаменателя на множители и затем сократить общие множители. Давайте разберем этот процесс пошагово.

Шаг 1: Исходная дробь

Дана дробь: [ \frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2}. ]

Шаг 2: Разложение числителя

Числитель — это квадратный многочлен: [ n^2 - n - 1. ] Попробуем разложить его на множители, используя метод подбора или квадратное уравнение. Для этого решим уравнение: [ n^2 - n - 1 = 0. ] Найдем корни этого уравнения по формуле квадратного корня: [ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где (a = 1), (b = -1), (c = -1). Подставляем значения: [ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. ] Таким образом, корни числителя: [ n_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad n_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}. ] Числитель можно записать как: [ n^2 - n - 1 = \left(n - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) \left(n - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right). ]

Шаг 3: Разложение знаменателя

Знаменатель — это многочлен четвёртой степени: [ n^4 - n^3 - n^2. ] Вынесем общий множитель (n^2): [ n^4 - n^3 - n^2 = n^2(n^2 - n - 1). ] Теперь знаменатель записывается как: [ n^2(n^2 - n - 1). ]

Шаг 4: Сокращение дроби

Теперь дробь становится: [ \frac{n^2 - n - 1}{n^2(n^2 - n - 1)}. ] Мы видим, что (n^2 - n - 1) присутствует как множитель и в числителе, и в знаменателе. При условии, что (n^2 - n - 1 \neq 0) (то есть (n \neq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) и (n \neq \frac{1 - \sqrt{5}}{2})), мы можем сократить этот множитель. После сокращения остаётся: [ \frac{1}{n^2}. ]

Шаг 5: Ответ

Сокращённая форма дроби: [ \frac{1}{n^2}, ] где (n \neq 0, \, n \neq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \, n \neq \frac{1 - \sqrt{5}}{2}), поскольку при этих значениях исходная дробь будет неопределённой.