Сравните числа: корень 5 степени из (2/9)^3 и корень 5 степени из (1/4)^3.

Для сравнения данных чисел, мы сначала найдем их значения.

Корень 5 степени из (2/9)^3 = (2/9)^(3/5) = (2/9)^(3*1/5) = (2/9)^(3/5) = (2/9)^(3/5) = 2^(3/5) / 9^(3/5) = 2^(3/5) / 3 = 2^(3/5) / 3 ≈ 0.2969

Корень 5 степени из (1/4)^3 = (1/4)^(3/5) = (1/4)^(3*1/5) = (1/4)^(3/5) = (1/4)^(3/5) = 1^(3/5) / 4^(3/5) = 1^(3/5) / 2 = 1^(3/5) / 2 ≈ 0.5

Таким образом, мы видим, что значение корня 5 степени из (1/4)^3 больше, чем значение корня 5 степени из (2/9)^3.

Давайте рассмотрим и сравним два числа: ( \sqrt[5]{\left(\frac{2}{9}\right)^3} ) и ( \sqrt[5]{\left(\frac{1}{4}\right)^3} ).

Начнем с первого выражения ( \sqrt[5]{\left(\frac{2}{9}\right)^3} ).

1. Возведем дробь ( \frac{2}{9} ) в куб: [ \left(\frac{2}{9}\right)^3 = \frac{2^3}{9^3} = \frac{8}{729}. ]
2. Теперь найдем корень пятой степени из полученного числа: [ \sqrt[5]{\frac{8}{729}}. ] Это число является положительным и меньше 1, так как и числитель, и знаменатель положительны, и знаменатель больше числителя.

Теперь перейдем ко второму выражению ( \sqrt[5]{\left(\frac{1}{4}\right)^3} ).

1. Возведем дробь ( \frac{1}{4} ) в куб: [ \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}. ]
2. Найдем корень пятой степени из полученного числа: [ \sqrt[5]{\frac{1}{64}}. ] Аналогично, это число также положительное и меньше 1.

Теперь сравним два полученных результата. Нам нужно сравнить две дроби: ( \frac{8}{729} ) и ( \frac{1}{64} ). Для удобства сравнения приведем их к общему знаменателю. Знаменатель 729 можно представить как ( 3^6 ), а 64 как ( 2^6 ). Найдем НОК для ( 3^6 ) и ( 2^6 ), что равно ( 2^6 \times 3^6 = 46656 ).

Преобразуем дроби:

• ( \frac{8}{729} ) становится ( \frac{8 \times 64}{46656} = \frac{512}{46656} ),
• ( \frac{1}{64} ) становится ( \frac{1 \times 729}{46656} = \frac{729}{46656} ).

Сравниваем ( \frac{512}{46656} ) и ( \frac{729}{46656} ). Очевидно, что ( 512 < 729 ). Следовательно, ( \frac{8}{729} < \frac{1}{64} ), и тогда ( \sqrt[5]{\left(\frac{2}{9}\right)^3} < \sqrt[5]{\left(\frac{1}{4}\right)^3} ).

Итак, ( \sqrt[5]{\left(\frac{2}{9}\right)^3} ) меньше, чем ( \sqrt[5]{\left(\frac{1}{4}\right)^3} ).