Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 корень из 3. Найдите объем пирамиды, если...

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V = (1/3) S h, где S - площадь основания, а h - высота пирамиды. Площадь основания S = a^2, где a - длина стороны основания. Таким образом, S = (4√3)^2 = 48. Далее, используем формулу для высоты пирамиды h = a √(2 - √3), где h - высота пирамиды, a - длина стороны основания. Подставляем данные и находим h = 4√3 √(2 - √3). Теперь подставляем значения S и h в формулу объема пирамиды и получаем V = (1/3) 48 4√3 √(2 - √3) = 64√3 √(2 - √3).

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить высоту правильной четырехугольной пирамиды.

Поскольку угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет 60 градусов, то треугольник, образованный боковой гранью, высотой пирамиды и высотой, опущенной из вершины пирамиды на основание, является равносторонним. Таким образом, мы можем разделить боковую грань на два равносторонних треугольника с углом в 60 градусов, что позволит нам найти высоту пирамиды.

Рассмотрим один из таких треугольников. У него две стороны равны 4√3 (половина стороны боковой грани), а угол между ними равен 60 градусов. Из косинуса этого угла можем найти третью сторону, которая и будет высотой пирамиды.

cos(60°) = adjacent/hypotenuse cos(60°) = 4√3/4 1/2 = 4√3/4 √3 = 4h h = √3/4

Теперь, имея высоту пирамиды, можем найти её объем.

V = (1/3) S h V = (1/3) (4√3)^2 √3/4 V = (1/3) 48 √3/4 V = 16√3

Ответ: объем пирамиды равен 16√3.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна (4 \sqrt{3}) и боковая грань составляет угол 60 градусов с плоскостью основания, следуем следующим шагам:

1. Найдем апофему пирамиды: Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и равные боковые грани. Апофема (высота боковой грани) соединяет вершину пирамиды с серединой основания боковой грани.

   Пусть (a = 4 \sqrt{3}) — сторона основания (квадрат). Половина стороны основания будет равна: [ \frac{a}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} ]

2. Определим высоту пирамиды: Боковая грань образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Это значит, что угол между апофемой и высотой пирамиды равен 60 градусов.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и половиной диагонали квадрата основания. В этом треугольнике угол 60 градусов находится между апофемой и высотой пирамиды.

   Используем тригонометрическую функцию косинуса для угла 60 градусов: [ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ]

   Пусть (h) — высота пирамиды, а (l) — апофема. Тогда: [ \cos 60^\circ = \frac{h}{l} \implies \frac{1}{2} = \frac{h}{l} \implies l = 2h ]

   Найдем апофему (l) через половину диагонали основания. Диагональ квадрата с стороной (a) равна (a \sqrt{2}): [ d = a \sqrt{2} = 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{6} ] Половина диагонали: [ \frac{d}{2} = 2 \sqrt{6} ]

   В прямоугольном треугольнике с апофемой, половиной диагонали основания и высотой пирамиды: [ l^2 = h^2 + \left(2 \sqrt{6}\right)^2 = h^2 + 24 ]

3. Определим высоту путем подстановки апофемы: Подставим апофему (l = 2h) в уравнение: [ (2h)^2 = h^2 + 24 \implies 4h^2 = h^2 + 24 \implies 3h^2 = 24 \implies h^2 = 8 \implies h = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} ]

4. Найдем объем пирамиды: Объем правильной четырехугольной пирамиды находится по формуле: [ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h ] где (S) — площадь основания, а (h) — высота.

   Площадь основания (S) равна площади квадрата со стороной (a = 4 \sqrt{3}): [ S = a^2 = (4 \sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 ]

   Подставляем значения в формулу: [ V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 2 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2} ]

Таким образом, объем данной пирамиды равен (32 \sqrt{2}) кубических единиц.