Стороны правильного треугольника АВС равны 3. найдите длину вектора АВ -АС

Для решения задачи сначала рассмотрим основные свойства правильного треугольника (равностороннего треугольника). В правильном треугольнике все стороны равны, а все углы равны 60 градусам.

Пусть ( \triangle ABC ) — правильный треугольник со сторонами, равными 3. Для удобства введем систему координат и расположим треугольник так, чтобы одна из вершин, например, точка ( A ), находилась в начале координат: ( A(0, 0) ).

Теперь определим координаты остальных вершин ( B ) и ( C ).

1. Вершина ( B ):

   • Расположим точку ( B ) на оси абсцисс (оси ( x )). Поскольку длина стороны треугольника ( AB = 3 ), то координаты точки ( B ) будут ( B(3, 0) ).

2. Вершина ( C ):

   • Вершина ( C ) будет находиться выше оси ( x ) на равном расстоянии от ( A ) и ( B ). Поскольку все углы в правильном треугольнике равны 60 градусам, мы можем использовать тригонометрические функции для определения координат точки ( C ).
   • Координаты точки ( C ) могут быть найдены, используя формулы для координат векторов в треугольнике. Расстояние от точки ( A ) до точки ( C ) равно 3, и это расстояние формирует угол 60 градусов с осью ( x ).
   • Таким образом, координаты точки ( C ) можно записать как ( C \left( \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) ). Это следует из того, что проекция точки ( C ) на ось ( x ) равна ( \frac{3}{2} ), а на ось ( y ) равна ( \frac{3\sqrt{3}}{2} ).

Теперь рассмотрим векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

• Вектор ( \overrightarrow{AB} ) имеет координаты ( (3-0, 0-0) = (3, 0) ).
• Вектор ( \overrightarrow{AC} ) имеет координаты ( \left( \frac{3}{2} - 0, \frac{3\sqrt{3}}{2} - 0 \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) ).

Теперь найдем разность векторов ( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ):

• ( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = (3, 0) - \left( \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) ).
• Выполним вычитание координат: ( \left( 3 - \frac{3}{2}, 0 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) = \left( \frac{6}{2} - \frac{3}{2}, - \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, - \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) ).

Теперь найдем длину вектора ( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ):

• Длина вектора ( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ) равна ( \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( - \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2} ).
• Посчитаем: ( \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3 ).

Следовательно, длина вектора ( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ) равна 3.

Для решения данной задачи нам необходимо найти координаты векторов AB и AC, чтобы затем вычислить их разность, которая и будет являться вектором AB - AC.

Поскольку стороны правильного треугольника ABC равны 3, то это означает, что все его углы равны 60 градусам. Из этого следует, что треугольник ABC является равносторонним.

Таким образом, для вектора AB координаты будут (3, 0), а для вектора AC - (-1.5, 2.6) (координаты можно получить, например, через тригонометрические функции).

Теперь вычислим разность векторов AB - AC:

AB - AC = (3, 0) - (-1.5, 2.6) = (3 + 1.5, 0 - 2.6) = (4.5, -2.6)

Следовательно, длина вектора AB - AC равна √(4.5^2 + (-2.6)^2) ≈ √(20.25 + 6.76) ≈ √27.01 ≈ 5.19.

Таким образом, длина вектора AB - AC составляет около 5.19.