Свойства функции y=-x^2

Функция ( y = -x^2 ) является квадратичной функцией, и её график представляет собой параболу, которая открывается вниз. Рассмотрим основные свойства этой функции:

1. Область определения (D(y)): Область определения функции ( y = -x^2 ) включает все возможные значения ( x ). Таким образом, ( D(y) = \mathbb{R} ), что означает, что функция определена для всех вещественных чисел.

2. Область значений (E(y)): Поскольку ( -x^2 ) всегда меньше или равно нулю (так как ( x^2 \geq 0 ) для всех ( x )), область значений функции будет включать все отрицательные числа и ноль. Таким образом, ( E(y) = (-\infty, 0] ).

3. Пересечения с осями:

   • Пересечение с осью ( y ): Точка пересечения с осью ( y ) происходит, когда ( x = 0 ). Подставляя ( x = 0 ) в уравнение, получаем ( y = 0 ). Следовательно, точка пересечения с осью ( y ) – это (0, 0).
   • Пересечение с осью ( x ): Точка пересечения с осью ( x ) также происходит, когда ( y = 0 ). Решая уравнение ( -x^2 = 0 ), получаем ( x = 0 ). Следовательно, точка пересечения с осью ( x ) – это (0, 0).

4. Вершина параболы: Вершина параболы ( y = -x^2 ) находится в точке (0, 0). Это также максимальная точка, так как парабола открывается вниз.

5. Симметрия: Функция ( y = -x^2 ) является чётной функцией, поскольку ( y(-x) = y(x) ). График функции симметричен относительно оси ( y ).

6. Поведением при больших значениях ( |x| ): Когда ( x ) стремится к ( \infty ) или ( -\infty ), значение функции ( y = -x^2 ) стремится к ( -\infty ).

7. Монотонность:

   • На интервале ( (-\infty, 0) ) функция убывает.
   • На интервале ( (0, \infty) ) функция также убывает.

8. Вогнутость/выпуклость: Парабола ( y = -x^2 ) является вогнутой вниз на всей области определения, так как второй производной функции является отрицательная константа (( y'' = -2 )).

9. Пределы:

   • При ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty ), ( y \to -\infty ).

10. Дифференцируемость и производные:

    • Первая производная функции: ( y' = -2x ). Эта производная показывает скорость изменения функции и указывает на то, что функция убывает с постоянной скоростью.
    • Вторая производная функции: ( y'' = -2 ). Поскольку вторая производная отрицательна, это подтверждает, что график функции является вогнутым вниз.

Эти свойства помогают полностью понять поведение функции ( y = -x^2 ) и её графика.

Функция y = -x^2 имеет несколько свойств:

1. Функция является параболой с вершиной в точке (0, 0) и направленной вниз.

2. Функция симметрична относительно оси ординат, так как при замене x на -x значение функции не изменяется.

3. Функция ограничена снизу и не имеет верхней границы, так как при увеличении значения x в отрицательную сторону значение функции будет уменьшаться до бесконечно малых значений.

4. Функция убывает на всей области определения, так как коэффициент при x^2 отрицателен.

5. График функции симметричен относительно оси ординат.

6. Функция имеет точку перегиба в точке (0, 0).

7. У функции нет нулей, так как y всегда отрицательно.

Это основные свойства функции y = -x^2.

Функция y=-x^2 является параболой, симметричной относительно оси ординат, вершина которой находится в точке (0,0).