Укажите множество решений неравенств 8x-x^2 больше 0

Для того чтобы найти множество решений неравенства 8x - x^2 > 0, сначала нужно найти корни уравнения 8x - x^2 = 0. Для этого можно привести уравнение к виду x^2 - 8x = 0, а затем решить его с помощью метода факторизации или квадратного уравнения.

x^2 - 8x = 0 x(x - 8) = 0 x = 0 или x = 8

Таким образом, у нас есть два корня уравнения: x = 0 и x = 8. Эти корни делят координатную ось на три интервала: (-∞, 0), (0, 8) и (8, +∞).

Для определения множества решений неравенства 8x - x^2 > 0 необходимо изучить знак выражения 8x - x^2 на каждом из вышеупомянутых интервалов.

1. Для интервала (-∞, 0): Подставляем любое значение x < 0 (например, x = -1): 8(-1) - (-1)^2 = -8 - 1 = -9 < 0

2. Для интервала (0, 8): Подставляем любое значение x от 0 до 8 (например, x = 1): 8(1) - (1)^2 = 8 - 1 = 7 > 0

3. Для интервала (8, +∞): Подставляем любое значение x > 8 (например, x = 9): 8(9) - (9)^2 = 72 - 81 = -9 < 0

Таким образом, множество решений неравенства 8x - x^2 > 0 можно записать в виде: {x | x ∈ (0, 8)} - множество всех x, принадлежащих интервалу (0, 8)

Чтобы решить неравенство (8x - x^2 > 0), начнем с преобразования исходного выражения:

[8x - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 - 8x < 0 \Rightarrow -x^2 + 8x > 0.]

Для удобства решения можно вынести (-1) за скобку:

[-(x^2 - 8x) < 0 \Rightarrow x^2 - 8x < 0.]

Далее разложим квадратный трехчлен на множители. Для этого найдем корни характеристического уравнения (x^2 - 8x = 0):

[x(x - 8) = 0.]

Уравнение имеет два корня: (x_1 = 0) и (x_2 = 8). Это означает, что квадратный трехчлен можно представить в виде:

[x(x - 8).]

Теперь рассмотрим знаки произведения на разных интервалах. Интервалы, на которых будем исследовать знаки произведения, разделяются корнями уравнения: это интервалы ((-∞, 0)), ((0, 8)) и ((8, +∞)).

1. Если (x \in (-∞, 0)), оба множителя (x) и (x - 8) отрицательны, их произведение положительно.
2. Если (x \in (0, 8)), (x) положительно, а (x - 8) отрицательно, произведение отрицательно.
3. Если (x \in (8, +∞)), оба множителя положительны, произведение положительно.

Нам нужен интервал, на котором произведение отрицательно, так как исходное неравенство имеет вид (x(x - 8) < 0). Этому условию удовлетворяет интервал ((0, 8)).

Таким образом, множество решений исходного неравенства (8x - x^2 > 0) есть интервал ((0, 8)).