Упростить выражение 8а-3 / а+5 - 40-27а / а^2+2а-15

Для упрощения данного выражения сначала нужно привести его к общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей (а + 5) и (а^2 + 2а - 15), который равен (а^2 + 2а - 15)(а + 5) = а^3 + 7а^2 - 8а - 75.

Теперь приведем числитель первого дробного слагаемого к общему знаменателю: 8а - 3 * (а^2 + 2а - 15) = 8а - 3а^2 - 6а + 45 = -3а^2 + 2а + 45.

Приведем числитель второго дробного слагаемого к общему знаменателю: 40 - 27а * (а + 5) = 40 - 27а^2 - 135а = -27а^2 - 135а + 40.

Итак, после приведения числителей к общему знаменателю, выражение принимает вид: (-3а^2 + 2а + 45) - (-27а^2 - 135а + 40) / (а^3 + 7а^2 - 8а - 75).

Далее можно выполнить операции сложения числителей и упростить выражение.

Чтобы упростить выражение (\frac{8a-3}{a+5} - \frac{40-27a}{a^2+2a-15}), начнем с анализа знаменателей.

1. Разложение знаменателей на множители:

   Второй знаменатель равен (a^2 + 2a - 15). Чтобы разложить это на множители, найдем корни квадратного уравнения:

   [ a^2 + 2a - 15 = 0 ]

   Используем формулу для корней квадратного уравнения:

   [ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   где (a = 1), (b = 2), (c = -15).

   [ a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} ]

   [ a = \frac{-2 \pm 8}{2} ]

   Корни: (a = 3) и (a = -5).

   Следовательно, разложение на множители:

   [ a^2 + 2a - 15 = (a - 3)(a + 5) ]

2. Приведение к общему знаменателю:

   Общий знаменатель для дробей будет ( (a+5)(a-3) ).

   Преобразуем первую дробь:

   [ \frac{8a - 3}{a + 5} \rightarrow \frac{8a - 3}{a + 5} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} = \frac{(8a - 3)(a - 3)}{(a + 5)(a - 3)} ]

   Преобразуем вторую дробь:

   [ \frac{40 - 27a}{(a + 5)(a - 3)} ]

3. Вычисление разности:

   Теперь вычислим разность дробей:

   [ \frac{(8a - 3)(a - 3)}{(a + 5)(a - 3)} - \frac{40 - 27a}{(a + 5)(a - 3)} = \frac{(8a - 3)(a - 3) - (40 - 27a)}{(a + 5)(a - 3)} ]

   Раскроем скобки в числителе:

   [ (8a - 3)(a - 3) = 8a^2 - 24a - 3a + 9 = 8a^2 - 27a + 9 ]

   Следовательно, числитель разности:

   [ 8a^2 - 27a + 9 - 40 + 27a = 8a^2 - 31 ]

4. Упрощение:

   Выражение упрощается до:

   [ \frac{8a^2 - 31}{(a + 5)(a - 3)} ]

   Это максимально упрощенное выражение, так как числитель не разлагается на множители, которые могли бы сократиться со знаменателем.

Таким образом, упрощенное выражение будет (\frac{8a^2 - 31}{(a + 5)(a - 3)}).

Для упрощения данного выражения, сначала нужно привести подобные дроби и затем выполнить операции с числителями и знаменателями. В итоге получится -35/(a^2 + 2a - 15).