В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0.8 Найти...

1. Для того чтобы найти вероятность того, что включено 4 мотора из 6, мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения: P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k), где n = 6 (количество моторов), k = 4 (количество включенных моторов), p = 0.8 (вероятность включения мотора), C(n,k) - число сочетаний из n по k.

Таким образом, вероятность того, что включено 4 мотора, равна: P(X=4) = C(6,4) 0.8^4 0.2^2 = 15 0.4096 0.04 = 0.2458

Ответ: 0.246

1. Для того чтобы найти вероятность того, что включены все 6 моторов, просто перемножим вероятности включения каждого мотора: P(все включены) = 0.8^6 = 0.2621

Ответ: 0.262

1. Для того чтобы найти вероятность того, что работают не более двух моторов, найдем вероятность работы 0, 1 или 2 моторов и сложим их: P(работают не более 2 моторов) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = C(6,0)0.8^00.2^6 + C(6,1)0.8^10.2^5 + C(6,2)0.8^20.2^4 = 10.000010.001 + 60.80.0016 + 150.640.0016 = 0.001 + 0.00768 + 0.0384 = 0.04708

Ответ: 0.047

1. Для того чтобы найти вероятность наступления события B, если событие A появится не менее двух раз, можем воспользоваться формулой биномиального распределения: P(B) = P(X>=2) = 1 - P(X

Для решения задач, связанных с вероятностями, когда речь идет о включении или выключении моторов и испытаниях, можно использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение описывает число успехов в серии ( n ) независимых испытаний, где вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна ( p ).

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом: [ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} ] где:

• ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
• ( n ) — общее число испытаний,
• ( k ) — число успехов,
• ( p ) — вероятность успеха в одном испытании,
• ( 1-p ) — вероятность неудачи.

1. Вероятность того, что включено 4 мотора (k = 4)

   Дано:

   • ( n = 6 )
   • ( p = 0.8 )

   Посчитаем вероятность: [ P(X = 4) = \binom{6}{4} (0.8)^4 (0.2)^2 ]

   Рассчитаем биномиальный коэффициент: [ \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} = 15 ]

   Теперь подставим значения: [ P(X = 4) = 15 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2 ] [ P(X = 4) = 15 \cdot 0.4096 \cdot 0.04 ] [ P(X = 4) = 15 \cdot 0.016384 ] [ P(X = 4) = 0.24576 ]

   Округляем до тысячных: [ P(X = 4) \approx 0.246 ]

2. Вероятность того, что включены все моторы (k = 6)

   Посчитаем вероятность: [ P(X = 6) = \binom{6}{6} (0.8)^6 (0.2)^0 ]

   Биномиальный коэффициент: [ \binom{6}{6} = 1 ]

   Подставим значения: [ P(X = 6) = 1 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^0 ] [ P(X = 6) = (0.8)^6 ] [ P(X = 6) = 0.262144 ]

   Округляем до тысячных: [ P(X = 6) \approx 0.262 ]

3. Вероятность того, что работают не более двух моторов (k ≤ 2)

   Вероятность того, что работают не более двух моторов, равна сумме вероятностей того, что работают 0, 1 или 2 мотора: [ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ]

   Для ( X = 0 ): [ P(X = 0) = \binom{6}{0} (0.8)^0 (0.2)^6 ] [ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.000064 ] [ P(X = 0) = 0.000064 ]

   Для ( X = 1 ): [ P(X = 1) = \binom{6}{1} (0.8)^1 (0.2)^5 ] [ \binom{6}{1} = 6 ] [ P(X = 1) = 6 \cdot 0.8 \cdot 0.00032 ] [ P(X = 1) = 6 \cdot 0.000256 ] [ P(X = 1) = 0.001536 ]

   Для ( X = 2 ): [ P(X = 2) = \binom{6}{2} (0.8)^2 (0.2)^4 ] [ \binom{6}{2} = 15 ] [ P(X = 2) = 15 \cdot 0.64 \cdot 0.0016 ] [ P(X = 2) = 15 \cdot 0.001024 ] [ P(X = 2) = 0.01536 ]

   Сложим все вероятности: [ P(X \leq 2) = 0.000064 + 0.001536 + 0.01536 ] [ P(X \leq 2) = 0.01696 ]

   Округляем до тысячных: [ P(X \leq 2) \approx 0.017 ]

4. Вероятность того, что наступит событие B, если событие A появится не менее двух раз в 6 независимых испытаниях (p = 0.4)

   Дано:

   • ( n = 6 )
   • ( p = 0.4 )
   • Необходимо найти вероятность, что событие A произойдет хотя бы два раза, ( P(X \geq 2) ).

   Проще всего сначала найти вероятность того, что событие A произойдет 0 или 1 раз, и затем вычесть эту вероятность из 1.

   Для ( X = 0 ): [ P(X = 0) = \binom{6}{0} (0.4)^0 (0.6)^6 ] [ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.046656 ] [ P(X = 0) = 0.046656 ]

   Для ( X = 1 ): [ P(X = 1) = \binom{6}{1} (0.4)^1 (0.6)^5 ] [ \binom{6}{1} = 6 ] [ P(X = 1) = 6 \cdot 0.4 \cdot 0.07776 ] [ P(X = 1) = 6 \cdot 0.031104 ] [ P(X = 1) = 0.186624 ]

   Сложим эти вероятности: [ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) ] [ P(X < 2) = 0.046656 + 0.186624 ] [ P(X < 2) = 0.23328 ]

   Теперь вероятность того, что A произойдет хотя бы два раза: [ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) ] [ P(X \geq 2) = 1 - 0.23328 ] [ P(X \geq 2) = 0.76672 ]

   Округляем до тысячных: [ P(X \geq 2) \approx 0.767 ]

Итак, ответы:

1. Вероятность, что включено 4 мотора, равна ( 0.246 ).
2. Вероятность, что включены все моторы, равна ( 0.262 ).
3. Вероятность, что работают не более двух моторов, равна ( 0.017 ).
4. Вероятность того, что наступит событие B, если событие A появится не менее двух раз в 6 испытаниях, равна ( 0.767 ).