В классе 9 человек занимаются гимнастикой сколькими способами можно выбрать из них троих для участия...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать комбинаторику. Мы имеем дело с задачей выбора комбинации из 9 человек по 3 для участия в соревнованиях.

Формула для расчета количества способов выбора комбинации из n элементов по k элементов выглядит следующим образом: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где "!" обозначает факториал.

В данном случае у нас есть 9 человек, и мы выбираем из них 3 для участия в соревнованиях. Подставляем значения в формулу: C(9, 3) = 9! / (3! * (9 - 3)!) = 84.

Таким образом, из 9 человек можно выбрать 3 для участия в соревнованиях 84 различными способами.

Чтобы определить, сколькими способами можно выбрать троих из девяти человек для участия в соревнованиях, нужно использовать комбинации. Комбинации позволяют выбрать несколько объектов из множества без учета порядка.

Формула для вычисления количества комбинаций из ( n ) объектов по ( k ) — это биномиальный коэффициент, который обозначается как ( C(n, k) ) или ( \binom{n}{k} ). Формула для его вычисления следующая:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Где:

• ( n! ) (n факториал) — это произведение всех положительных целых чисел до ( n ).
• ( k! ) (k факториал) — это произведение всех положительных целых чисел до ( k ).
• ( (n-k)! ) — это произведение всех положительных целых чисел до ( n-k ).

В данном случае ( n = 9 ) (всего человек) и ( k = 3 ) (человек, которых нужно выбрать). Подставим эти значения в формулу:

[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} ]

Теперь вычислим факториалы:

• ( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880 )
• ( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 )
• ( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 )

Теперь подставим значения факториалов обратно в формулу:

[ C(9, 3) = \frac{362880}{6 \times 720} = \frac{362880}{4320} = 84 ]

Таким образом, троих человек из девяти можно выбрать 84 различными способами.