В квадрате АВСД случайным образом выбирается точка Х . Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику АДМ, где точка М: а) является серединой стороны СД б) делит отрезок СД в отношении 1:2 считая от точки С в) делит отрезок СД в отношении n:m. считая от точки С.
Рассмотрим квадрат ABCD с вершинами A, B, C и D. Пусть сторона квадрата имеет длину a. Определим координаты вершин: A (0,0), B (a,0), C (a,a), D (0,a). Теперь анализируем каждый случай отдельно.
Точка M, будучи серединой CD, имеет координаты ((a, \frac{a}{2})).
Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка X попадает в треугольник ADM, нужно вычислить отношение площади треугольника ADM к площади квадрата ABCD.
Площадь квадрата ABCD: (a^2).
Координаты вершин треугольника ADM: A (0,0), D (0,a), M (a, \frac{a}{2}).
Площадь треугольника ADM: Используем формулу площади треугольника с известными координатами вершин: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ] где ((x_1, y_1) = (0,0)), ((x_2, y_2) = (0,a)), ((x_3, y_3) = (a, \frac{a}{2})).
Подставляя значения, получаем: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| 0(a - \frac{a}{2}) + 0(\frac{a}{2} - 0) + a(0 - a) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 - a^2 \right| = \frac{1}{2} a^2 = \frac{a^2}{4} ]
Вероятность: [ P = \frac{\text{Площадь треугольника ADM}}{\text{Площадь квадрата ABCD}} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a^2} = \frac{1}{4} ]
Точка M имеет координаты (\left(a, \frac{a}{3}\right)).
Координаты вершин треугольника ADM: A (0,0), D (0,a), M (\left(a, \frac{a}{3}\right)).
Площадь треугольника ADM: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| 0(a - \frac{a}{3}) + 0(\frac{a}{3} - 0) + a(0 - a) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 - \frac{a^2}{3} \right| = \frac{1}{2} \frac{a^2}{3} = \frac{a^2}{6} ]
Вероятность: [ P = \frac{\text{Площадь треугольника ADM}}{\text{Площадь квадрата ABCD}} = \frac{\frac{a^2}{6}}{a^2} = \frac{1}{6} ]
Точка M имеет координаты (\left(a, \frac{ma}{n+m}\right)).
Координаты вершин треугольника ADM: A (0,0), D (0,a), M (\left(a, \frac{ma}{n+m}\right)).
Площадь треугольника ADM: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| 0(a - \frac{ma}{n+m}) + 0(\frac{ma}{n+m} - 0) + a(0 - a) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 - a \cdot \frac{ma}{n+m} \right| = \frac{1}{2} \frac{ma^2}{n+m} ]
Вероятность: [ P = \frac{\text{Площадь треугольника ADM}}{\text{Площадь квадрата ABCD}} = \frac{\frac{ma^2}{2(n+m)}}{a^2} = \frac{m}{2(n+m)} ]
Таким образом, вероятности для каждого случая составляют:
а) (\frac{1}{4})
б) (\frac{1}{6})
в) (\frac{m}{2(n+m)})
a) Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику АДМ при условии, что М - середина стороны СД, равна 1/4.
b) Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику АДМ при условии, что М делит отрезок СД в отношении 1:2 считая от точки С, равна 1/6.
c) Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику АДМ при условии, что М делит отрезок СД в отношении n:m считая от точки С, равна 1/(n+m+1).
Для того чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка Х принадлежит треугольнику АДМ, нужно определить отношение площади треугольника АДМ к площади квадрата АВСД.
а) Если точка М является серединой стороны СД, то треугольник АДМ будет равнобедренным прямоугольным треугольником, а значит его площадь будет равна половине площади квадрата АВСД.
b) Если точка М делит отрезок СД в отношении 1:2 считая от точки С, то площадь треугольника АДМ будет равна площади прямоугольного треугольника, образованного отрезками AM и DM. Площадь этого треугольника равна произведению половины длины отрезка AM на длину отрезка DM.
c) Если точка М делит отрезок СД в отношении n:m считая от точки С, то площадь треугольника АДМ можно выразить как произведение длин отрезков AM и DM, умноженное на отношение m / (n + m).
Далее, чтобы найти вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику АДМ, необходимо поделить площадь треугольника на площадь квадрата.
Итак, расширенный ответ на вопрос о вероятности принадлежности точки Х треугольнику АДМ в зависимости от положения точки М в квадрате АВСД представлен выше.
