В некотором государстве 16 городов,причем каждые 2 из них соединены дорогой,не проходящей ни через какой...

В данной задаче речь идет о полном графе, где каждая вершина (город) соединена с каждой другой вершиной ровно одной дорогой. То есть каждый город соединен дорогой с каждым другим городом.

Число дорог в полном графе с ( n ) вершинами (городами) можно вычислить по формуле: [ \frac{n(n-1)}{2} ] Эта формула получается, потому что каждая вершина соединяется с ( n-1 ) другими вершинами, и так как каждая дорога соединяет два города, то каждая дорога учитывается дважды, отсюда и деление на 2.

Подставим в формулу количество городов ( n = 16 ): [ \frac{16 \times (16 - 1)}{2} = \frac{16 \times 15}{2} = \frac{240}{2} = 120 ]

Таким образом, в государстве с 16 городами будет 120 дорог.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой комбинаторики. Поскольку каждые два города соединены дорогой, то количество возможных соединений равно количеству сочетаний по 2 из 16 городов.

Формула комбинаторики для вычисления количества сочетаний из n элементов по k элементов выглядит следующим образом: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

В данном случае у нас 16 городов и мы хотим найти количество сочетаний по 2 города: C(16, 2) = 16! / (2! (16 - 2)!) = 16! / (2! 14!) = 120

Таким образом, в данном государстве будет 120 дорог.