В прямоугольный треугольник вписана окружность найти радиус окружности , если периметр треугольника...

Рассмотрим задачу: в прямоугольный треугольник вписана окружность. Нам нужно найти радиус вписанной окружности, если периметр треугольника составляет 50, а гипотенуза равна 23. Разберем задачу по шагам.

1. Свойства прямоугольного треугольника с вписанной окружностью

Окружность, вписанная в треугольник, касается всех трех его сторон. Радиус ( r ) вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника и его периметр: [ r = \frac{S}{p}, ] где:

• ( S ) — площадь треугольника;
• ( p ) — полупериметр треугольника.

Полупериметр ( p ) равен половине периметра треугольника: [ p = \frac{a + b + c}{2}, ] где ( a ), ( b ) — катеты, ( c ) — гипотенуза.

2. Связь между сторонами и периметром

Из условия известно:

• Периметр ( P = 50 ),
• Гипотенуза ( c = 23 ).

Полупериметр: [ p = \frac{50}{2} = 25. ]

Пусть ( a ) и ( b ) — катеты треугольника. Тогда: [ a + b + c = 50 \quad \Rightarrow \quad a + b = 50 - 23 = 27. ]

3. Связь между сторонами прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора: [ a^2 + b^2 = c^2. ] Подставим значение гипотенузы ( c = 23 ): [ a^2 + b^2 = 23^2 = 529. ]

Мы получили систему уравнений:

1. ( a + b = 27 ),
2. ( a^2 + b^2 = 529 ).

4. Решение системы уравнений

Из первого уравнения выразим ( b ) через ( a ): [ b = 27 - a. ]

Подставим это выражение во второе уравнение: [ a^2 + (27 - a)^2 = 529. ]

Раскроем скобки: [ a^2 + (27 - a)^2 = a^2 + (729 - 54a + a^2) = 529. ] Соберем подобные члены: [ 2a^2 - 54a + 729 = 529. ] Приведем уравнение к стандартному виду: [ 2a^2 - 54a + 200 = 0. ]

Упростим, разделив на 2: [ a^2 - 27a + 100 = 0. ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 729 - 400 = 329. ]

Найдем корни: [ a = \frac{-(-27) \pm \sqrt{329}}{2 \cdot 1} = \frac{27 \pm \sqrt{329}}{2}. ]

Приблизительное значение ( \sqrt{329} \approx 18.14 ). Тогда: [ a = \frac{27 + 18.14}{2} \approx 22.57 \quad \text{или} \quad a = \frac{27 - 18.14}{2} \approx 4.43. ]

Соответственно, два катета: [ a \approx 22.57, \quad b \approx 4.43 \quad \text{(или наоборот)}. ]

5. Вычисление площади

Площадь прямоугольного треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. ] Подставим значения ( a \approx 22.57 ) и ( b \approx 4.43 ): [ S \approx \frac{1}{2} \cdot 22.57 \cdot 4.43 \approx 50. ]

6. Нахождение радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности: [ r = \frac{S}{p}. ] Подставим значения ( S \approx 50 ) и ( p = 25 ): [ r = \frac{50}{25} = 2. ]

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен ( \mathbf{2} ).

Чтобы найти радиус вписанной окружности ( r ) прямоугольного треугольника, можно использовать формулу:

[ r = \frac{S}{p} ]

где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — его полупериметр. Полупериметр ( p ) можно найти по формуле:

[ p = \frac{a + b + c}{2} ]

где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза. В нашем случае периметр ( P ) равен 50, соответственно:

[ p = \frac{50}{2} = 25 ]

Гипотенуза ( c = 23 ). Теперь нам нужно найти длины катетов ( a ) и ( b ). Мы можем использовать теорему Пифагора:

[ a^2 + b^2 = c^2 ]

Подставим значение гипотенузы:

[ a^2 + b^2 = 23^2 = 529 ]

Также у нас есть уравнение для полупериметра:

[ a + b + 23 = 50 \Rightarrow a + b = 27 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( a + b = 27 )
2. ( a^2 + b^2 = 529 )

Из первого уравнения выразим ( b ):

[ b = 27 - a ]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ a^2 + (27 - a)^2 = 529 ]

Раскроем скобки:

[ a^2 + (729 - 54a + a^2) = 529 ]

Соберём подобные:

[ 2a^2 - 54a + 729 - 529 = 0 ]

Упростим уравнение:

[ 2a^2 - 54a + 200 = 0 ]

Разделим всё на 2:

[ a^2 - 27a + 100 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 729 - 400 = 329 ]

Корни уравнения:

[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 \pm \sqrt{329}}{2} ]

Приблизительно ( \sqrt{329} \approx 18.14 ):

[ a_1 = \frac{27 + 18.14}{2} \approx 22.57 ] [ a_2 = \frac{27 - 18.14}{2} \approx 4.43 ]

Таким образом, катеты ( a \approx 22.57 ) и ( b \approx 4.43 ).

Теперь можем найти площадь ( S ) треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты:

[ S = \frac{1}{2}ab ]

Подставим найденные значения:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 22.57 \cdot 4.43 \approx 50 ]

Теперь, используя радиус вписанной окружности:

[ r = \frac{S}{p} = \frac{50}{25} = 2 ]

Таким образом, радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен ( r \approx 2 ).