В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна 4 корня из 3, а боковое ребро -5. Найдите:...

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ( MABC ) с основанием ( \triangle ABC ) и вершиной ( M ). Дана сторона основания ( AB = BC = CA = 4\sqrt{3} ) и боковое ребро ( MA = MB = MC = 5 ).

1) Площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему (высоту боковой грани).

1. Найдем полупериметр основания: [ p = \frac{3 \times 4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} ]

2. Найдем апофему ( h ): В правильной треугольной пирамиде высота боковой грани может быть найдена через теорему Пифагора в треугольнике ( MAB ), где ( h ) — высота (апофема), ( MA = 5 ) — боковое ребро, а ( \frac{AB}{2} = 2\sqrt{3} ).

   [ h = \sqrt{MA^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 - 12} = \sqrt{13} ]

3. Площадь боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = 3 \times \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times \sqrt{13} = 6\sqrt{39} ]

2) Объем пирамиды

Объем ( V ) пирамиды можно найти по формуле: [ V = \frac{1}{3} S{\text{осн}} \cdot H ] где ( S{\text{осн}} ) — площадь основания, ( H ) — высота пирамиды.

1. Площадь основания: [ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4\sqrt{3})^2 = 12\sqrt{3} ]

2. Высота пирамиды: В треугольнике ( MOG ) (где ( G ) — центр основания) используем теорему Пифагора: ( MO = \sqrt{5^2 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 0} = 5 ).

3. Объем: [ V = \frac{1}{3} \times 12\sqrt{3} \times 5 = 20\sqrt{3} ]

3) Угол между боковым ребром и плоскостью основания

Этот угол можно найти через косинус угла между вектором бокового ребра и нормалью к плоскости основания.

1. Высота основания: [ H = \sqrt{5^2 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 12} = \sqrt{13} ]

2. Косинус угла: [ \cos \theta = \frac{H}{MA} = \frac{\sqrt{13}}{5} ]

4) Скалярное произведение векторов ( 0.5( \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) ) и ( \overrightarrow{EA} )

1. Середина ( E ): ( \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} - \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} ).

2. Скалярное произведение: Используя координаты и симметрию фигуры, вычислите вектора и их скалярное произведение.

5) Объем вписанного в пирамиду шара

Радиус вписанного шара ( r ) можно найти через формулу:

[ r = \frac{3V}{S_{\text{поверхности}}} ]

где ( S{\text{поверхности}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} ).

6) Угол между стороной основания и плоскостью боковой грани

Этот угол равен арккосинусу отношения высоты пирамиды к боковому ребру, так как боковая грань является прямоугольным треугольником.

[ \cos \phi = \frac{H}{MA} = \frac{\sqrt{13}}{5} ]

Таким образом, основные параметры пирамиды найдены.

1) Площадь боковой поверхности пирамиды: Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле S = 1/2 периметр основания боковое ребро. Периметр основания равен 4 4√3 = 16√3. Тогда S = 1/2 16√3 * 5 = 40√3.

2) Объем пирамиды: Объем пирамиды можно найти по формуле V = 1/3 S основания высота. Высота пирамиды равна h = √(r^2 - (a/2)^2), где r - радиус вписанной в основание окружности, а - сторона основания. r = a/(2√3) = 4/(2√3) = 2/√3. h = √((5√3)^2 - (4√3/2)^2) = √(75 - 12) = √63 = 3√7. Тогда V = 1/3 4√3 3√7 = 4√(3 * 7) = 4√21.

3) Угол между боковым ребром и плоскостью основания: Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен углу наклона боковой грани к основанию. Так как пирамида правильная, то угол между боковой гранью и основанием равен 60 градусам.

4) Скалярное произведение векторов 0,5(МВ + МС)ЕА: Для нахождения скалярного произведения векторов нужно умножить соответствующие координаты и сложить результаты. 0,5(МВ + МС) = 0,5((МС - МВ) + 2МВ) = 0,5(5 - 0 + 2МВ) = 2,5 + МВ. Скалярное произведение с вектором ЕА: (2,5 + МВ) ЕА = 2,5 ЕА + МВ * ЕА.

5) Объем вписанного в пирамиду шара: Объем вписанного в пирамиду шара можно найти как 1/3 объема пирамиды.

6) Угол между стороной основания и плоскостью боковой грани: Угол между стороной основания и плоскостью боковой грани равен углу наклона боковой грани к основанию, то есть 60 градусам (так как пирамида правильная).

1) Площадь боковой поверхности пирамиды равна 20. 2) Объем пирамиды равен 20√3. 3) Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусов. 4) Скалярное произведение векторов 0,5(МВ+МС)ЕА равно 0. 5) Объем вписанного в пирамиду шара равен 4π/3. 6) Угол между стороной основания и плоскостью боковой грани равен 90 градусов.