В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK равным 10 см,MN=NK=20 см.На стороне NK лежит точка...

Чтобы найти длину отрезка AM в равнобедренном треугольнике ( \triangle MNK ) с основанием ( MK = 10 ) см и равными сторонами ( MN = NK = 20 ) см, воспользуемся следующим подходом.

1. Определение точек на стороне NK:

   На стороне ( NK ) выбрана точка ( A ) так, что отношение отрезков ( AK : AN = 1 : 3 ). Это означает, что отрезок ( AK ) составляет одну часть из четырёх, на которые делится сторона ( NK ) точкой ( A ).

2. Вычисление длины отрезка AK:

   Так как ( NK = 20 ) см, то можно сказать, что ( AK = \frac{1}{4} \times 20 = 5 ) см и ( AN = \frac{3}{4} \times 20 = 15 ) см.

3. Использование теоремы косинусов для нахождения AM:

   Чтобы найти длину ( AM ), применим теорему косинусов в треугольнике ( \triangle MAN ).

   В треугольнике ( \triangle MNK ), так как ( MN = NK ), он является равнобедренным, и угол ( \angle MNK ) равен углу ( \angle NKM ). Обозначим угол при вершине ( N ) как ( \theta ).

   Теорема косинусов в ( \triangle MNK ) позволяет записать:

   [ MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot \cos \theta ]

   Подставляя известные значения, получаем:

   [ 10^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos \theta ]

   [ 100 = 400 + 400 - 800 \cos \theta ]

   [ 800 \cos \theta = 700 ]

   [ \cos \theta = \frac{7}{8} ]

   Теперь применим теорему косинусов в ( \triangle MAN ):

   [ AM^2 = AN^2 + MN^2 - 2 \cdot AN \cdot MN \cdot \cos \angle MAN ]

   Поскольку ( \angle MAN = \angle MNK ), то:

   [ AM^2 = 15^2 + 20^2 - 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \frac{7}{8} ]

   [ AM^2 = 225 + 400 - 2 \times 15 \times 20 \times \frac{7}{8} ]

   [ AM^2 = 625 - 2 \times 15 \times 20 \times \frac{7}{8} ]

   [ AM^2 = 625 - 2 \times 15 \times 20 \times 0.875 ]

   [ AM^2 = 625 - 525 ]

   [ AM^2 = 100 ]

   [ AM = \sqrt{100} = 10 ]

Таким образом, длина отрезка ( AM ) равна 10 см.

AM = 12.5 см

Поскольку треугольник MNK равнобедренный, то у него углы при основании MK равны. Таким образом, треугольник MNK является равносторонним, следовательно, у него все стороны равны 20 см.

Так как отношение AK к AN равно 1:3, то длина отрезка AK равна 1/4 от длины всей стороны NK, то есть 20/4 = 5 см.

Теперь рассмотрим треугольник AMK. По теореме косинусов: AM^2 = AK^2 + MK^2 - 2 AK MK * cos(угол MAK).

Так как треугольник равнобедренный, то угол MAK равен 90 градусов (половина угла при вершине треугольника MNK). Подставляем известные значения: AM^2 = 5^2 + 10^2 - 2 5 10 * cos(90). AM^2 = 25 + 100 - 100. AM^2 = 25.

Извлекая корень из обеих сторон, получаем: AM = 5 см.

Таким образом, длина отрезка AM равна 5 см.