. В таблицу 4×4 записали числа от 1 до 16 (так, как показано на рисунке). Перед каждым из них поставили знак «+» или «–» так, что в каждой строке и в каждом столбце оказалось по два плюса и по два минуса. Докажите, что сумма полученных чисел всегда будет равна нулю.
Для доказательства этого утверждения, можно заметить, что если мы сложим все числа в таблице, то получим сумму от 1 до 16, которая равна 136. Затем, если мы учтем, что каждое число участвует дважды в выражениях (один раз с плюсом, другой раз с минусом), то каждое число будет вносить вклад в сумму дважды. Таким образом, каждое число вносит в сумму сначала положительный вклад, затем отрицательный, и в результате все числа сократятся друг друга, и сумма всех чисел будет равна нулю.
Рассмотрим таблицу (4 \times 4), в которую записаны числа от 1 до 16. Каждое число имеет знак «+» или «-», причем в каждой строке и в каждом столбце имеется ровно два плюса и два минуса. Требуется доказать, что сумма всех чисел в такой таблице всегда равна нулю.
Для начала обозначим числа в таблице через (a{ij}), где (i) и (j) — индексы строки и столбца соответственно. Таким образом, (a{ij}) принимает значения от 1 до 16.
Теперь рассмотрим знаки, которые мы присваиваем этим числам. Пусть (s{ij}) обозначает знак числа (a{ij}), где (s{ij} = +1), если перед числом стоит знак "+", и (s{ij} = -1), если перед числом стоит знак "-".
Тогда наша сумма всех чисел в таблице будет выглядеть так:
[ S = \sum{i=1}^{4} \sum{j=1}^{4} s{ij} \cdot a{ij} ]
Наша цель — доказать, что (S = 0).
Заметим, что каждый элемент (a{ij}) умножается на знак (s{ij}), который может быть либо +1, либо -1. В каждой строке и в каждом столбце у нас по два плюса и два минуса, что означает, что сумма знаков в каждой строке и каждом столбце равна нулю:
[ \sum{j=1}^{4} s{ij} = 0, \quad \forall i \in {1, 2, 3, 4} ] [ \sum{i=1}^{4} s{ij} = 0, \quad \forall j \in {1, 2, 3, 4} ]
Теперь рассмотрим все числа от 1 до 16. Их сумма равна:
[ \sum_{k=1}^{16} k = \frac{16 \cdot (16 + 1)}{2} = 136 ]
Однако, для доказательства нам важно рассмотреть, как эти значения распределяются по строкам и столбцам. В каждой строке и столбце у нас по два положительных и два отрицательных числа.
Для лучшего понимания, давайте рассмотрим один из возможных способов распределения знаков:
Предположим, что мы ставим знаки в следующем порядке:
[ \begin{matrix}
Тогда сумма чисел в каждой строке и каждом столбце будет следующей:
Для первой строки: [ (+a{11} + a{12} - a{13} - a{14}) + (+a{21} + a{22} - a{23} - a{24}) + (-a{31} - a{32} + a{33} + a{34}) + (-a{41} - a{42} + a{43} + a{44}) ]
Обратим внимание, что каждая строка и каждый столбец содержат по два плюса и два минуса, а значит, сумма всех элементов в строке или столбце также будет равна 0.
Рассматривая все строки и столбцы, суммируем все элементы:
[ S = \sum{i=1}^{4} \sum{j=1}^{4} s{ij} \cdot a{ij} = 0 ]
Таким образом, независимо от того, каким образом мы распределим знаки при условии, что в каждой строке и в каждом столбце будет по два плюса и два минуса, общая сумма всех чисел в таблице всегда будет равна нулю.
Для доказательства этого утверждения, рассмотрим сумму всех чисел в таблице:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16
Если мы преобразуем эту сумму, то мы можем записать ее следующим образом:
(1 + 2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7 + 8) + (9 + 10 + 11 + 12) + (13 + 14 + 15 + 16)
Теперь рассмотрим сумму в каждой строке и каждом столбце:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
5 + 6 + 7 + 8 = 26
9 + 10 + 11 + 12 = 42
13 + 14 + 15 + 16 = 58
Так как в каждой строке и в каждом столбце оказалось по два плюса и по два минуса, то сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна нулю. Следовательно, сумма всех чисел в таблице также будет равна нулю.
