В треугольнике ABC высоты AA1 и BB1 пересекаются в точке H. Известно, что AH=5, BH=7, BB1=10. Найдите...

Для решения данной задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Обозначим точку пересечения высот как H, а точку пересечения высоты AA1 с BC как D.

Из подобия треугольников ABC и AHD следует, что:

AH/HD = BH/BC

Так как AH = 5, BH = 7, то получаем:

5/HD = 7/(BC - HD)

Также из подобия треугольников BHB1 и DHB1 следует, что:

BH/BB1 = HD/DB1

Подставляем значения BH = 7, BB1 = 10:

7/10 = HD/(BC - HD)

Решаем систему уравнений:

5/HD = 7/(BC - HD)

7/10 = HD/(BC - HD)

Отсюда находим HD = 25/3, BC = 35/3. Теперь из треугольника AHB1H получаем:

A1H = AH - HD = 5 - 25/3 = 10/3.

Итак, A1H = 10/3.

В данной задаче мы рассматриваем высоты треугольника ( ABC ), которые пересекаются в точке ( H ), называемой ортоцентром. Даны отрезки: ( AH = 5 ), ( BH = 7 ), и ( BB_1 = 10 ). Нам необходимо найти длину отрезка ( A_1H ).

Для решения этой задачи можно использовать свойства высот и ортоцентра в треугольнике.

1. Теорема о высотах и ортоцентре: В любом треугольнике сумма длин отрезков, на которые ортоцентр делит высоты, равна длине соответствующей высоты. Это значит, что для высоты ( AA_1 ) справедливо следующее равенство: [ AH + A_1H = AA_1 ]

2. Высота ( BB_1 ): Для высоты ( BB_1 ) также справедливо аналогичное равенство: [ BH + B_1H = BB_1 ]

   Нам известно, что ( BH = 7 ) и ( BB_1 = 10 ). Подставим эти значения в уравнение: [ 7 + B_1H = 10 ] [ B_1H = 10 - 7 = 3 ]

3. Используем взаимосвязь точек ( H ), ( A_1 ), и ( B_1 ): В прямоугольном треугольнике ( AHB ) с гипотенузой ( AB ), точки ( A_1 ) и ( B_1 ) являются основаниями высот на стороны ( BC ) и ( AC ) соответственно. Таким образом, треугольники ( AHB ) и ( A_1HB_1 ) подобны. Следовательно, отношение отрезков на одной высоте будет равно отношению соответствующих отрезков на другой высоте.

4. Пропорции: Поскольку треугольники ( AHB ) и ( A_1HB_1 ) подобны, можем записать пропорцию: [ \frac{AH}{A_1H} = \frac{BH}{B_1H} ]

   Подставим известные значения: [ \frac{5}{A_1H} = \frac{7}{3} ]

5. Решаем уравнение: Из пропорции найдем ( A_1H ): [ 5 \cdot 3 = 7 \cdot A_1H ] [ 15 = 7 \cdot A_1H ] [ A_1H = \frac{15}{7} ]

Таким образом, длина отрезка ( A_1H ) равна (\frac{15}{7}).