Векторы p и v взаимно перпендикулярны, но одинаковой длины: 6 см. Определи скалярное произведение векторов...

Для начала найдем векторы a и d:

a = 2 p - 2 v a = 2 (6i + 6j) - 2 (6i - 6j) a = 12i + 12j - 12i + 12j a = 24j

d = 2 p + 2 v d = 2 (6i + 6j) + 2 (6i - 6j) d = 12i + 12j + 12i - 12j d = 24i

Теперь найдем скалярное произведение векторов a и d:

a d = (24 0) + (24 1) a d = 0 + 24 a * d = 24

Таким образом, скалярное произведение векторов a и d равно 24.

Чтобы определить скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{d} ), сначала выразим их через векторы ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{v} ).

Даны: [ \mathbf{a} = 2\mathbf{p} - 2\mathbf{v} ] [ \mathbf{d} = 2\mathbf{p} + 2\mathbf{v} ]

Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{d} ) вычисляется по формуле: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = (2\mathbf{p} - 2\mathbf{v}) \cdot (2\mathbf{p} + 2\mathbf{v}) ]

Раскроем скобки с использованием распределительного свойства скалярного произведения: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = (2\mathbf{p}) \cdot (2\mathbf{p}) + (2\mathbf{p}) \cdot (2\mathbf{v}) - (2\mathbf{v}) \cdot (2\mathbf{p}) - (2\mathbf{v}) \cdot (2\mathbf{v}) ]

Применим свойства скалярного произведения: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = 4(\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}) + 4(\mathbf{p} \cdot \mathbf{v}) - 4(\mathbf{v} \cdot \mathbf{p}) - 4(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) ]

Поскольку ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{v} ) взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю: [ \mathbf{p} \cdot \mathbf{v} = 0 ] [ \mathbf{v} \cdot \mathbf{p} = 0 ]

Также известно, что длины векторов ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{v} ) равны 6 см, следовательно: [ \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} = |\mathbf{p}|^2 = 6^2 = 36 ] [ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2 = 6^2 = 36 ]

Подставим эти значения в выражение: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = 4 \cdot 36 + 4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 4 \cdot 36 ]

Получаем: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = 4 \cdot 36 - 4 \cdot 36 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = 144 - 144 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = 0 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{d} ) равно нулю: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = 0 ]

Скалярное произведение векторов a и d равно 0.