Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того,...

Для нахождения вероятности того, что событие наступит не менее 11 раз, можно воспользоваться формулой Лапласа:

P(X≥11) = 1 - P(X≤10)

P(X≤10) = P(X=0) + P(X=1) + . + P(X=10)

Так как нам даны значения функции Лапласа для 1, 2 и 3, можем воспользоваться ими для расчета P(X≤10):

P(X≤10) = 1 - Ф(1) - Ф(2) - Ф(3) = 1 - 0,3413 - 0,4854 - 0,49865 = 0,67465

Теперь можем найти вероятность того, что событие наступит не менее 11 раз:

P(X≥11) = 1 - 0,67465 = 0,32535

Ответ: 0,32535.

Для решения этой задачи необходимо использовать нормальное приближение для биномиального распределения, так как ( n \cdot p \cdot q = 4.41 ) больше 10, что позволяет применить теорему Лапласа.

У вас правильно рассчитаны параметры:

• ( n = 21 )
• ( p = 0.7 )
• ( q = 0.3 )
• Математическое ожидание: ( np = 21 \times 0.7 = 14.7 )
• Дисперсия: ( npq = 21 \times 0.7 \times 0.3 = 4.41 )

Нам нужно найти вероятность того, что событие наступит не менее 11 раз, то есть ( P(X \geq 11) ).

В нормальном приближении биномиального распределения для вычисления вероятностей применяется следующая формула Z-преобразования:

[ Z = \frac{K - np}{\sqrt{npq}} ]

Где ( K ) – это количество наступлений события (в нашем случае, не менее 11). В нормальном приближении мы учитываем поправку на непрерывность:

[ Z = \frac{11 - 0.5 - 14.7}{\sqrt{4.41}} ]

Посчитаем Z:

[ Z = \frac{10.5 - 14.7}{\sqrt{4.41}} = \frac{-4.2}{2.1} = -2.0 ]

Теперь используем таблицу функции распределения стандартного нормального распределения ( \Phi(Z) ). Нам нужно найти ( P(X \geq 11) = 1 - P(X < 11) ).

Поскольку ( Z = -2.0 ), нам нужно найти ( \Phi(Z) ) для ( Z = -2.0 ). Обычно, таблицы стандартного нормального распределения дают неотрицательные значения Z, поэтому мы используем симметрию функции нормального распределения:

[ \Phi(-Z) = 1 - \Phi(Z) ]

Таким образом:

[ \Phi(-2.0) = 1 - \Phi(2.0) ]

По заданной таблице мы знаем, что ( \Phi(2.18) = 0.4854 ). Так как нам нужна точка ( Z = 2.0 ), которая будет немного меньше чем 2.18, мы можем предположить, что ( \Phi(2.0) ) немного меньше чем 0.4854, но приблизительно равно.

Приблизительно:

[ \Phi(2.0) \approx 0.4772 \quad \text{(по стандартным таблицам)} ]

Следовательно:

[ \Phi(-2.0) \approx 1 - 0.4772 = 0.0228 ]

Таким образом, вероятность того, что событие наступит не менее 11 раз, составляет приблизительно:

[ P(X \geq 11) = 1 - \Phi(-2.0) \approx 0.9772 ]

Ответ: 0.9772 (без округления до трёх знаков после запятой с учетом приближенных данных).