Вычислить коэффициент а^4 в разложении выражения (а+1/а)^10 по формуле бинома ньютона

Для вычисления коэффициента (a^4) в разложении выражения ((a + \frac{1}{a})^{10}) по формуле бинома Ньютона, можно воспользоваться следующим подходом.

Сначала запишем общее разложение бинома Ньютона для выражения ((x + y)^n): [ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k, ] где (\binom{n}{k}) — это биномиальный коэффициент, равный (\frac{n!}{k!(n-k)!}).

В нашем случае (x = a), (y = \frac{1}{a}), и (n = 10). Таким образом, разложение будет выглядеть следующим образом: [ (a + \frac{1}{a})^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} a^{10-k} \left(\frac{1}{a}\right)^k. ]

Приведем выражение (a^{10-k} \left(\frac{1}{a}\right)^k) к удобному виду: [ a^{10-k} \left(\frac{1}{a}\right)^k = a^{10-k} a^{-k} = a^{10-2k}. ]

Чтобы найти коэффициент при (a^4), нам необходимо, чтобы степень (a) была равна 4: [ 10 - 2k = 4. ]

Решим это уравнение относительно (k): [ 10 - 2k = 4 \implies 2k = 6 \implies k = 3. ]

Теперь найдем соответствующий биномиальный коэффициент (\binom{10}{3}): [ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3! (10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}. ]

Сократим факториалы: [ \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120. ]

Таким образом, коэффициент при (a^4) в разложении ((a + \frac{1}{a})^{10}) равен: [ \boxed{120}. ]

Итак, коэффициент (a^4) в разложении выражения ((a + \frac{1}{a})^{10}) по формуле бинома Ньютона равен 120.

Для расчета коэффициента (a^4) в разложении выражения ((a+1/a)^{10}) по формуле бинома Ньютона, нам нужно использовать следующую формулу:

((a+1/a)^{10} = C(10,0) a^{10} (1/a)^0 + C(10,1) a^9 (1/a)^1 + C(10,2) a^8 (1/a)^2 + . + C(10,9) a^1 (1/a)^9 + C(10,10) a^0 (1/a)^{10})

Где (C(n,k)) - число сочетаний из (n) по (k), которое вычисляется по формуле (C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!) ).

Для того чтобы найти коэффициент (a^4), мы должны найти все слагаемые, в которых (a^4) присутствует. Посмотрим на слагаемые, которые содержат (a^4):

1. (C(10,6) a^4 (1/a)^6 = C(10,6) a^4 a^{-6} = C(10,6) = 210)

Таким образом, коэффициент (a^4) в разложении выражения ((a+1/a)^{10}) равен 210.