Вычислить объем тела , полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной...

Чтобы вычислить объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, можно воспользоваться методом вращения, известным как метод дисков или цилиндрических слоев. В данном случае у нас есть криволинейная трапеция, ограниченная линиями ( y = 2x - 3 ), ( y = 0 ), ( x = 2 ) и ( x = 4 ).

1. Определение функции и границ вращения:

   • Верхняя граница функции: ( y = 2x - 3 ).
   • Нижняя граница функции: ( y = 0 ).
   • Границы по оси ( x ): от ( x = 2 ) до ( x = 4 ).

2. Формула для объема тела вращения: Объем ( V ) тела, полученного при вращении вокруг оси ( x ), можно найти по формуле: [ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx ] где ( f(x) ) — функция, определяющая верхнюю границу фигуры, а ( a ) и ( b ) — границы интегрирования.

3. Подстановка в формулу: В нашем случае ( f(x) = 2x - 3 ), а границы ( a = 2 ) и ( b = 4 ). Таким образом, объем будет равен: [ V = \pi \int_{2}^{4} (2x - 3)^2 \, dx ]

4. Вычисление интеграла:

   • Разворачиваем квадрат: [ (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 ]
   • Интегрируем каждое слагаемое: [ \int (4x^2 - 12x + 9) \, dx = \int 4x^2 \, dx - \int 12x \, dx + \int 9 \, dx ] [ = \left. \frac{4x^3}{3} \right|{2}^{4} - \left. 6x^2 \right|{2}^{4} + \left. 9x \right|_{2}^{4} ]

5. Подставляем пределы интегрирования: [ = \left( \frac{4 \cdot 4^3}{3} - \frac{4 \cdot 2^3}{3} \right) - \left( 6 \cdot 4^2 - 6 \cdot 2^2 \right) + \left( 9 \cdot 4 - 9 \cdot 2 \right) ] [ = \left( \frac{256}{3} - \frac{32}{3} \right) - (96 - 24) + (36 - 18) ] [ = \frac{224}{3} - 72 + 18 ] [ = \frac{224}{3} - \frac{216}{3} + \frac{54}{3} ] [ = \frac{224 - 216 + 54}{3} = \frac{62}{3} ]

6. Выражаем объем: [ V = \pi \cdot \frac{62}{3} = \frac{62\pi}{3} ]

Итак, объем тела, полученного при вращении данной криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, составляет (\frac{62\pi}{3}) кубических единиц.

Для вычисления объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, необходимо использовать метод цилиндров.

Сначала найдем уравнение функции, которая задает криволинейную трапецию. Из условия известно, что она ограничена линиями y=2x-3, y=0, x=2, x=4.

Подставим x=2 и x=4 в уравнение y=2x-3: y(2) = 22 - 3 = 4 - 3 = 1 y(4) = 24 - 3 = 8 - 3 = 5

Таким образом, получаем уравнение криволинейной трапеции: y = 2x-3, ограниченной точками (2,1) и (4,5).

Далее, для нахождения объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, необходимо построить интеграл объема. Объем такого тела можно найти по формуле:

V = ∫[a,b] π(y)^2 dx, где a и b - пределы интегрирования, y - функция, задающая криволинейную трапецию.

Таким образом, объем тела, полученного при вращении данной криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, будет равен интегралу от 2 до 4 от π(2x-3)^2 dx.

V = ∫[2,4] π(2x-3)^2 dx

Далее необходимо решить данный интеграл численно, чтобы найти объем итоговой фигуры.