Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x²,y=0 сделать рисунок

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=2x-x² и y=0, нужно найти точки их пересечения, которые будут являться границами интегрирования. Затем провести интегрирование функции, описывающей верхнюю кривую (2x-x²), и вычесть из нее функцию, описывающую нижнюю кривую (y=0). Полученное значение будет являться площадью фигуры.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=2x-x² и y=0, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

2x-x²=0 x(2-x)=0 x=0 или x=2

Таким образом, точки пересечения линий будут (0,0) и (2,0).

Затем найдем интеграл от разности уравнений y=2x-x² и y=0 на отрезке [0,2]:

∫(2x-x²-0)dx = ∫(2x-x²)dx = x²-x³/3 | от 0 до 2 = (2²-2³/3)-(0-0) = 4-8/3 = 4/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x² и y=0, равна 4/3 квадратных единиц.

Ниже представлен график данной фигуры:

(вставить график)

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 2x - x^2 ) и ( y = 0 ), следуем следующим шагам:

1. Найдите точки пересечения

Функция ( y = 0 ) — это прямая линия, представляющая ось абсцисс. Нам нужно найти точки пересечения параболы ( y = 2x - x^2 ) с осью абсцисс.

Решим уравнение:

[ 2x - x^2 = 0 ]

Разложим выражение:

[ x(2 - x) = 0 ]

Отсюда получаем два корня:

[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 ]

2. Запишите интеграл для нахождения площади

Площадь фигуры между кривой и осью абсцисс от ( x = 0 ) до ( x = 2 ) можно вычислить с помощью определенного интеграла:

[ A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx ]

3. Вычислите интеграл

Найдём первообразную функции ( 2x - x^2 ):

[ \int (2x - x^2) \, dx = \int 2x \, dx - \int x^2 \, dx = x^2 - \frac{x^3}{3} + C ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{0^3}{3}\right) ]

Вычислим:

[ A = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} ]

Итак, площадь фигуры равна ( \frac{4}{3} ).

4. Построение графика

Чтобы нарисовать фигуру, начертите ось координат. Парабола ( y = 2x - x^2 ) имеет вершину на ( x = 1 ) и пересекает ось абсцисс в точках ( x = 0 ) и ( x = 2 ). График этой функции представляет собой перевернутую вниз параболу, которая пересекает ось абсцисс в упомянутых точках. Область под графиком от ( x = 0 ) до ( x = 2 ) и над осью абсцисс представляет собой искомую площадь.

На графике также отметьте точки пересечения и область, подлежащую интегрированию. Для большей наглядности можно заштриховать эту область.