Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 и y=2x+3

Площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 и y=2x+3 равна 13/6.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 2x + 3 ), сначала нужно найти точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем их:

[ x^2 = 2x + 3 ]

Перенесём все члены в одну часть уравнения:

[ x^2 - 2x - 3 = 0 ]

Это квадратное уравнение можно решить, разложив его на множители или используя дискриминант. Воспользуемся методом разложения на множители:

[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 ]

Таким образом, находим корни уравнения:

[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 ] [ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 ]

Итак, точки пересечения кривых — это ( x = -1 ) и ( x = 3 ). Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми на интервале от ( x = -1 ) до ( x = 3 ).

Площадь между двумя кривыми можно найти, взяв интеграл разности их уравнений:

[ \text{Area} = \int_{-1}^{3} (2x + 3 - x^2) \, dx ]

Выполним интегрирование:

1. Разделим интеграл на составляющие: [ \int{-1}^{3} (2x + 3 - x^2) \, dx = \int{-1}^{3} 2x \, dx + \int{-1}^{3} 3 \, dx - \int{-1}^{3} x^2 \, dx ]

2. Найдём каждый из этих интегралов отдельно.

Для ( \int{-1}^{3} 2x \, dx ): [ \int 2x \, dx = x^2 ] [ \left[ x^2 \right]{-1}^{3} = (3)^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8 ]

Для ( \int{-1}^{3} 3 \, dx ): [ \int 3 \, dx = 3x ] [ \left[ 3x \right]{-1}^{3} = 3 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) = 9 + 3 = 12 ]

Для ( \int{-1}^{3} x^2 \, dx ): [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} ] [ \left[ \frac{x^3}{3} \right]{-1}^{3} = \frac{(3)^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{-1}{3} = 9 + \frac{1}{3} = 9 + \frac{1}{3} = 9.333 ]

Теперь сложим результаты, учитывая знак перед каждым интегралом:

[ \text{Area} = 8 + 12 - 9.333 = 20 - 9.333 = 10.667 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 2x + 3 ), равна ( 10.667 ) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=x^2 и y=2x+3, необходимо найти точки их пересечения.

Поставим уравнения этих двух функций равными друг другу и найдем x: x^2 = 2x + 3 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 x1 = 3, x2 = -1

Затем подставим найденные значения x обратно в уравнения, чтобы найти соответствующие значения y:

1. При x = 3: y = 3^2 = 9 y = 2*3 + 3 = 9

2. При x = -1: y = (-1)^2 = 1 y = 2*(-1) + 3 = 1

Таким образом, получаем точки пересечения: (3, 9) и (-1, 1).

Далее, для нахождения площади фигуры между этими двумя кривыми необходимо найти интеграл от разности этих функций на интервале от x = -1 до x = 3: S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) = 2x + 3, g(x) = x^2, a = -1, b = 3.

S = ∫[-1,3] (2x + 3 - x^2) dx S = ∫[-1,3] (2x - x^2 + 3) dx S = [x^2 - (x^3)/3 + 3x] [-1,3] S = [(3)^2 - (3)^3/3 + 3*3] - [(-1)^2 - (-1)^3/3 + 3*(-1)] S = (9 - 9 + 9) - (1 + 1/3 - 3) S = 9 - 1/3 S = 26/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2x+3, равна 26/3 или примерно 8.67.