Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции У=6х-х2 и осью абсцисс

Тематика Математика
Уровень 10 - 11 классы
площадь фигуры график функции интегралы ось абсцисс математика вычисления квадратичная функция аналитическая геометрия
0

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции У=6х-х2 и осью абсцисс

avatar
задан 5 месяцев назад

2 Ответа

0

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y=6x-x^2 и осью абсцисс, необходимо найти точки пересечения функции с осью абсцисс. Для этого приравняем y к нулю:

6x - x^2 = 0

x(6 - x) = 0

x = 0 или x = 6

Таким образом, точки пересечения функции с осью абсцисс находятся в точках (0,0) и (6,0).

Далее, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс, необходимо вычислить определенный интеграл функции y=6x-x^2 на отрезке [0,6]:

S = ∫[0,6] (6x-x^2) dx

S = [3x^2 - (x^3)/3] |[0,6]

S = [3*6^2 - (6^3)/3] - [0]

S = [108 - 72]

S = 36

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=6x-x^2 и осью абсцисс, равна 36 квадратным единицам.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = 6x - x^2 ) и осью абсцисс, нужно выполнить следующие шаги:

  1. Найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Для этого решим уравнение ( 6x - x^2 = 0 ): [ x(6 - x) = 0 ] Это уравнение имеет два корня: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 6 ]

  2. Определить пределы интегрирования. Поскольку мы работаем с осью абсцисс, пределы интегрирования будут от ( x = 0 ) до ( x = 6 ).

  3. Записать интеграл для вычисления площади под кривой. Площадь под графиком функции ( y = 6x - x^2 ) от ( x = 0 ) до ( x = 6 ) можно найти с помощью определенного интеграла: [ \text{Площадь} = \int_{0}^{6} (6x - x^2) \, dx ]

  4. Вычислить интеграл. Найдем первообразную функции ( 6x - x^2 ): [ \int (6x - x^2) \, dx = \int 6x \, dx - \int x^2 \, dx ] Вычислим каждую часть интеграла отдельно: [ \int 6x \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2 ] [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} ] Таким образом, первообразная функции ( 6x - x^2 ) будет: [ 3x^2 - \frac{x^3}{3} ]

  5. Подставить пределы интегрирования и вычесть значения первообразной на границах. [ \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \left( 3 \cdot 6^2 - \frac{6^3}{3} \right) - \left( 3 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) ] Вычислим значения на границах: [ 3 \cdot 6^2 = 3 \cdot 36 = 108 ] [ \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72 ] Подставляем: [ 108 - 72 = 36 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = 6x - x^2 ) и осью абсцисс, составляет 36 квадратных единиц.

avatar
ответил 5 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме