Вычислите значение остальных трех тригонометрических функций: cos α = - 12/13, π < α < 3π/2

Дано: cos α = -12/13, π < α < 3π/2

Используя определение тригонометрических функций, мы знаем, что cos α = adjacent/hypotenuse. Поэтому, если adjacent = -12 и hypotenuse = 13, то противоположная сторона будет положительной, в данном случае равной 5 $используятеоремуПифагора$.

Теперь мы можем вычислить значения остальных тригонометрических функций:

sin α = opposite/hypotenuse = 5/13 tan α = sin α / cos α = $5/13$ / $-12/13$ = -5/12 csc α = 1/sin α = 1/$5/13$ = 13/5 sec α = 1/cos α = 1/$-12/13$ = -13/12 cot α = 1/tan α = 1/$-5/12$ = -12/5

Таким образом, значения остальных трех тригонометрических функций для данного угла α равны: sin α = 5/13 tan α = -5/12 csc α = 13/5 sec α = -13/12 cot α = -12/5.

Для решения задачи нам нужно найти значения остальных трех тригонометрических функций: синуса $sin\alpha$, тангенса $tan\alpha$ и котангенса $cot\alpha$ при условии, что cos α = -12/13 и угловой интервал π < α < 3π/2, что соответствует третьей четверти.

1. Найдем sin α:

   Для начала вспомним основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ Подставим известное значение $\cos \alpha$: ${\sin }^2\alpha +{(-\frac{12}{13})}^2=1$ ${\sin }^2\alpha +\frac{144}{169}=1$ ${\sin }^2\alpha =1-\frac{144}{169}$ ${\sin }^2\alpha =\frac{169}{169}-\frac{144}{169}$ ${\sin }^2\alpha =\frac{25}{169}$ $\sin \alpha =\pm \frac{5}{13}$ Поскольку α находится в третьей четверти $гдесинусотрицателен$, то: $\sin \alpha =-\frac{5}{13}$

2. Найдем tan α:

   Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ Подставим найденные значения: $\tan \alpha =\frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}=\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}$

3. Найдем cot α:

   Котангенс - это обратная величина тангенса: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$ Подставим найденное значение тангенса: $\cot \alpha =\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5}$

Таким образом, остальные тригонометрические функции имеют следующие значения:

• $\sin \alpha =-\frac{5}{13}$
• $\tan \alpha =\frac{5}{12}$
• $\cot \alpha =\frac{12}{5}$