Вычислите значение остальных трех тригонометрических функций: cos α = - 12/13, π < α < 3π/2

Дано: cos α = -12/13, π < α < 3π/2

Используя определение тригонометрических функций, мы знаем, что cos α = adjacent/hypotenuse. Поэтому, если adjacent = -12 и hypotenuse = 13, то противоположная сторона будет положительной, в данном случае равной 5 (используя теорему Пифагора).

Теперь мы можем вычислить значения остальных тригонометрических функций:

sin α = opposite/hypotenuse = 5/13 tan α = sin α / cos α = (5/13) / (-12/13) = -5/12 csc α = 1/sin α = 1/(5/13) = 13/5 sec α = 1/cos α = 1/(-12/13) = -13/12 cot α = 1/tan α = 1/(-5/12) = -12/5

Таким образом, значения остальных трех тригонометрических функций для данного угла α равны: sin α = 5/13 tan α = -5/12 csc α = 13/5 sec α = -13/12 cot α = -12/5.

Для решения задачи нам нужно найти значения остальных трех тригонометрических функций: синуса (sin α), тангенса (tan α) и котангенса (cot α) при условии, что cos α = -12/13 и угловой интервал π < α < 3π/2, что соответствует третьей четверти.

1. Найдем sin α:

   Для начала вспомним основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 α + \cos^2 α = 1 ] Подставим известное значение ( \cos α ): [ \sin^2 α + \left( -\frac{12}{13} \right)^2 = 1 ] [ \sin^2 α + \frac{144}{169} = 1 ] [ \sin^2 α = 1 - \frac{144}{169} ] [ \sin^2 α = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} ] [ \sin^2 α = \frac{25}{169} ] [ \sin α = \pm \frac{5}{13} ] Поскольку α находится в третьей четверти (где синус отрицателен), то: [ \sin α = -\frac{5}{13} ]

2. Найдем tan α:

   Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan α = \frac{\sin α}{\cos α} ] Подставим найденные значения: [ \tan α = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{-5}{-12} = \frac{5}{12} ]

3. Найдем cot α:

   Котангенс - это обратная величина тангенса: [ \cot α = \frac{1}{\tan α} ] Подставим найденное значение тангенса: [ \cot α = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} ]

Таким образом, остальные тригонометрические функции имеют следующие значения:

• (\sin α = -\frac{5}{13})
• (\tan α = \frac{5}{12})
• (\cot α = \frac{12}{5})