Высота конуса равна 8 см,объем 24πсм^3. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно сначала найти радиус основания конуса и его образующую.

1. Найдем радиус основания конуса.

Формула объема конуса: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Где:

• $V=24\pi$ см${}^3$ — объем конуса,
• $r$ — радиус основания,
• $h=8$ см — высота конуса.

Подставим известные значения в формулу и найдем $r$: $24\pi =\frac{1}{3}\pi r^2\times 8$

Упростим уравнение: $24\pi =\frac{8}{3}\pi r^2$

Разделим обе части уравнения на $\pi$: $24=\frac{8}{3}{r}^2$

Умножим обе части уравнения на 3: $72=8r^2$

Разделим обе части уравнения на 8: $9=r^2$

Таким образом, радиус основания: $r=3\text{ см}$

1. Найдем образующую конуса.

Образующая $l$ находится по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где:

• $l$ — гипотенуза $образующая$,
• $r=3$ см — один катет,
• $h=8$ см — другой катет.

Формула для вычисления образующей: $l=\sqrt{r^2+h^2}$

Подставим значения: $l=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}$

1. Найдем площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса $S$ состоит из площади основания ( S{\text{осн}} ) и площади боковой поверхности ( S{\text{бок}} ): [ S = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ]

Площадь основания: $S_{\text{осн}}=\pi r^2=\pi \times 3^2=9\pi$

Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}}=\pi rl=\pi \times 3\times \sqrt{73}=3\pi \sqrt{73}$

Итак, полная площадь поверхности конуса: $S=9\pi +3\pi \sqrt{73}$

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна $9\pi +3\pi \sqrt{73}$ квадратных сантиметров.

Для нахождения площади полной поверхности конуса необходимо вычислить сумму площадей основания и боковой поверхности.

Площадь основания конуса можно найти по формуле площади круга: Sосн = πr^2, где r - радиус основания конуса.

Объем конуса равен: V = $1/3$πr^2h, где h - высота конуса.

Из условия задачи известно, что высота конуса равна 8 см, а объем равен 24π см^3. Подставим данные в формулу для объема и найдем радиус основания конуса: 24π = $1/3$πr^2 8, 24 = $1/3$r^2 8, 3 = r^2, r = √3.

Теперь найдем площадь основания: Sосн = π$\surd 3$^2 = 3π.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: Sбок = πr*l, где l - образующая конуса.

Образующую можно найти по теореме Пифагора: l = √$r^2+h^2$ = √$3+64$ = √67.

Теперь найдем площадь боковой поверхности: Sбок = π√3 √67 = π√(367) = π√201.

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей основания и боковой поверхности: Sполн = Sосн + Sбок = 3π + π√201 = 3π + π√201.