Высота конуса равна 8 см,объем 24πсм^3. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно сначала найти радиус основания конуса и его образующую.

1. Найдем радиус основания конуса.

Формула объема конуса: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

Где:

• ( V = 24\pi ) см(^3) — объем конуса,
• ( r ) — радиус основания,
• ( h = 8 ) см — высота конуса.

Подставим известные значения в формулу и найдем ( r ): [ 24\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 8 ]

Упростим уравнение: [ 24\pi = \frac{8}{3} \pi r^2 ]

Разделим обе части уравнения на (\pi): [ 24 = \frac{8}{3} r^2 ]

Умножим обе части уравнения на 3: [ 72 = 8r^2 ]

Разделим обе части уравнения на 8: [ 9 = r^2 ]

Таким образом, радиус основания: [ r = 3 \text{ см} ]

1. Найдем образующую конуса.

Образующая ( l ) находится по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где:

• ( l ) — гипотенуза (образующая),
• ( r = 3 ) см — один катет,
• ( h = 8 ) см — другой катет.

Формула для вычисления образующей: [ l = \sqrt{r^2 + h^2} ]

Подставим значения: [ l = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} ]

1. Найдем площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса ( S ) состоит из площади основания ( S{\text{осн}} ) и площади боковой поверхности ( S{\text{бок}} ): [ S = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ]

Площадь основания: [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi ]

Площадь боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \times 3 \times \sqrt{73} = 3\pi \sqrt{73} ]

Итак, полная площадь поверхности конуса: [ S = 9\pi + 3\pi \sqrt{73} ]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна ( 9\pi + 3\pi \sqrt{73} ) квадратных сантиметров.

Для нахождения площади полной поверхности конуса необходимо вычислить сумму площадей основания и боковой поверхности.

Площадь основания конуса можно найти по формуле площади круга: Sосн = πr^2, где r - радиус основания конуса.

Объем конуса равен: V = (1/3)πr^2h, где h - высота конуса.

Из условия задачи известно, что высота конуса равна 8 см, а объем равен 24π см^3. Подставим данные в формулу для объема и найдем радиус основания конуса: 24π = (1/3)πr^2 8, 24 = (1/3)r^2 8, 3 = r^2, r = √3.

Теперь найдем площадь основания: Sосн = π(√3)^2 = 3π.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: Sбок = πr*l, где l - образующая конуса.

Образующую можно найти по теореме Пифагора: l = √(r^2 + h^2) = √(3 + 64) = √67.

Теперь найдем площадь боковой поверхности: Sбок = π√3 √67 = π√(367) = π√201.

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей основания и боковой поверхности: Sполн = Sосн + Sбок = 3π + π√201 = 3π + π√201.