Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, а сторона основания 6 см. Найдите боковое ребро.

Чтобы найти длину бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно учитывать несколько геометрических свойств.

1. Определение правильной четырехугольной пирамиды: Это пирамида, основание которой является квадратом, а все боковые грани — равнобедренные треугольники.

2. Дано:

   • Высота пирамиды ( h = 5 ) см.
   • Длина стороны основания ( a = 6 ) см.

3. Нахождение координат вершин основания: Поскольку основание является квадратом, мы можем разместить его в координатной системе. Пусть вершины квадрата будут ( A(-3, -3, 0) ), ( B(3, -3, 0) ), ( C(3, 3, 0) ), ( D(-3, 3, 0) ). Центр квадрата, который является проекцией вершины пирамиды на основание, будет в центре квадрата и находится в точке ( O(0, 0, 0) ).

4. Расположение вершины пирамиды: Вершина пирамиды ( V ) будет находиться в точке ( (0, 0, 5) ), так как она расположена прямо над центром основания на высоте 5 см.

5. Нахождение длины бокового ребра: Боковое ребро соединяет вершину пирамиды ( V ) с одной из вершин основания, например, с вершиной ( A ). Длина бокового ребра ( VA ) будет равна расстоянию между точками ( V(0, 0, 5) ) и ( A(-3, -3, 0) ).

   Для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве используем формулу: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ] Подставим координаты: [ d = \sqrt{((-3) - 0)^2 + ((-3) - 0)^2 + (0 - 5)^2} ] [ = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-5)^2} ] [ = \sqrt{9 + 9 + 25} ] [ = \sqrt{43} ]

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна ( \sqrt{43} ) см.

Чтобы найти боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды, нужно воспользоваться теоремой Пифагора. Давайте разберём задачу подробно.

Дано:

1. Высота пирамиды ( h = 5 \, \text{см} ),
2. Сторона основания ( a = 6 \, \text{см} ).

Ищем боковое ребро ( L ).

Шаг 1. Разберём структуру правильной четырёхугольной пирамиды

• Основание пирамиды — квадрат со стороной ( a = 6 \, \text{см} ).
• Высота ( h = 5 \, \text{см} ) проходит от вершины пирамиды перпендикулярно в центр основания (в точку пересечения диагоналей квадрата).
• Боковое ребро ( L ) соединяет вершину пирамиды с одной из вершин квадрата основания.

Наша задача — найти длину ( L ), используя свойства правильной пирамиды.

Шаг 2. Найдём длину апофемы основания

Апофема основания — это расстояние от центра квадрата до его вершины. Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей. Диагонали квадрата делятся пополам в центре.

1. Найдём длину диагонали квадрата ( d ) по формуле: [ d = a \sqrt{2}. ] Подставляем ( a = 6 ): [ d = 6 \sqrt{2} \, \text{см}. ]

2. Апофема основания (половина диагонали квадрата) равна: [ R = \frac{d}{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} \, \text{см}. ]

Шаг 3. Применим теорему Пифагора для нахождения бокового ребра

Теперь мы рассматриваем треугольник, образованный:

1. Высотой пирамиды ( h = 5 \, \text{см} ),
2. Апофемой основания ( R = 3 \sqrt{2} \, \text{см} ),
3. Боковым ребром ( L ), которое является гипотенузой.

По теореме Пифагора: [ L^2 = h^2 + R^2. ]

Подставляем значения: [ L^2 = 5^2 + (3\sqrt{2})^2. ]

Считаем: [ L^2 = 25 + 9 \cdot 2 = 25 + 18 = 43. ]

Находим ( L ): [ L = \sqrt{43} \, \text{см}. ]

Ответ:

Длина бокового ребра правильной четырёхугольной пирамиды равна ( L = \sqrt{43} \, \text{см} ) или приблизительно ( 6.56 \, \text{см} ) (если округлить до двух знаков после запятой).