X^3=x^2-7x+7 решить уравнение

Для решения данного уравнения X^3 = x^2 - 7x + 7 нужно сначала привести его к стандартному виду уравнения кубической функции, а именно X^3 - x^2 + 7x - 7 = 0. Затем можно воспользоваться различными методами решения уравнений, например, методом подбора корней или методом кубической функции. В общем случае, для решения кубического уравнения требуется найти корни этого уравнения, которые могут быть как рациональными, так и иррациональными числами. Для более точного решения уравнения можно использовать методы численного анализа, такие как метод Ньютона или метод дихотомии.

Чтобы решить уравнение ( x^3 = x^2 - 7x + 7 ), начнем с приведения его к стандартной форме многочлена, то есть все члены перенесем в одну часть уравнения:

[ x^3 - x^2 + 7x - 7 = 0. ]

Теперь у нас есть кубическое уравнение. Один из способов решения кубических уравнений — это использование метода нахождения рациональных корней с помощью теоремы о рациональных корнях. Теорема утверждает, что если у многочлена с целыми коэффициентами есть рациональный корень в форме (\frac{p}{q}), то (p) делит свободный член, а (q) делит старший коэффициент.

В нашем уравнении свободный член равен (-7), а старший коэффициент равен (1). Возможные рациональные корни — это делители числа (-7), то есть (\pm 1, \pm 7).

Подставим эти значения в уравнение и проверим, являются ли они корнями:

1. (x = 1):

   [ 1^3 - 1^2 + 7 \times 1 - 7 = 1 - 1 + 7 - 7 = 0. ]

   (x = 1) является корнем.

2. (x = -1):

   [ (-1)^3 - (-1)^2 + 7 \times (-1) - 7 = -1 - 1 - 7 - 7 = -16 \neq 0. ]

   (x = -1) не является корнем.

3. (x = 7):

   [ 7^3 - 7^2 + 7 \times 7 - 7 = 343 - 49 + 49 - 7 = 336 \neq 0. ]

   (x = 7) не является корнем.

4. (x = -7):

   [ (-7)^3 - (-7)^2 + 7 \times (-7) - 7 = -343 - 49 - 49 - 7 = -448 \neq 0. ]

   (x = -7) не является корнем.

Теперь, зная, что (x = 1) — это корень, можем использовать деление многочлена на (x - 1) для нахождения остальных корней. Разделим (x^3 - x^2 + 7x - 7) на (x - 1) с помощью схемы Горнера или обычного деления.

После деления получаем:

[ x^3 - x^2 + 7x - 7 = (x - 1)(x^2 + 7). ]

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и мы можем решить уравнение (x^2 + 7 = 0):

[ x^2 + 7 = 0 ] [ x^2 = -7 ] [ x = \pm \sqrt{-7}. ]

Это дает нам два комплексных корня: (x = i\sqrt{7}) и (x = -i\sqrt{7}).

Таким образом, решением уравнения (x^3 = x^2 - 7x + 7) являются три корня: (x = 1), (x = i\sqrt{7}), и (x = -i\sqrt{7}).