X^3+3x^2=0 решите уравнения и неравенства используяразложегие многочленов на множетели

Чтобы решить уравнение $x^3+3x^2=0$, нужно разложить многочлен на множители. Вот как это можно сделать:

1. Вынесение общего множителя за скобку:

   Заметим, что каждый член многочлена содержит $x^2$. Поэтому мы можем вынести $x^2$ за скобку:

   $x^3+3x^2=x^2(x+3)=0$

2. Решение уравнения:

   После разложения на множители у нас получается произведение двух множителей, равное нулю. Согласно нулевому произведению, если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Поэтому решаем следующие уравнения:

   $x^2=0$

   и

   $x+3=0$

   • Для уравнения $x^2=0$, решением является $x=0$.
   • Для уравнения $x+3=0$, решением является $x=-3$.

   Итак, уравнение $x^3+3x^2=0$ имеет два решения: $x=0$ и $x=-3$.

3. Решение неравенства:

   Рассмотрим неравенство $x^3+3x^2>0$. Используя разложение на множители, мы имеем:

   $x^2(x+3)>0$

   Для решения этого неравенства рассмотрим знаки каждого множителя:

   • $x^2$ всегда неотрицательно, и оно равно нулю только при $x=0$.
   • $x+3$ положительно при $x>-3$ и отрицательно при $x<-3$.

   Произведение $x^2(x+3$ ) будет положительным в случаях, когда:

   • $x^2>0$ и $x+3>0$: это соответствует $x>-3$, исключая $x=0$.

   Таким образом, решение неравенства $x^3+3x^2>0$ будет промежуток $(-3,0$ \cup $0,\mathrm{\infty }$ ).

   Объединив все результаты, получаем:

   • Уравнение $x^3+3x^2=0$ имеет решения $x=0$ и $x=-3$.
   • Неравенство $x^3+3x^2>0$ выполняется на промежутках $(-3,0$ \cup $0,\mathrm{\infty }$ ).

Для решения уравнения X^3 + 3x^2 = 0 сначала вынесем общий множитель x^2:

x^2 * $x+3$ = 0

Теперь мы имеем произведение двух множителей, один из которых равен нулю. Это значит, что либо x^2 = 0, либо x + 3 = 0. Рассмотрим оба случая:

1. x^2 = 0 Так как x^2 равен нулю, то x также равен нулю.

2. x + 3 = 0 Вычитаем 3 с обеих сторон: x = -3

Итак, уравнение X^3 + 3x^2 = 0 имеет два корня: x = 0 и x = -3.

Теперь рассмотрим неравенство X^3 + 3x^2 > 0. Для этого найдем интервалы, где данное выражение положительно.

Разложим многочлен на множители: x^2 * $x+3$ > 0

Из решения уравнения мы знаем, что корни уравнения равны 0 и -3. Построим таблицу знаков для каждого интервала:

1. x < -3: $-$$-$$-$ < 0
2. -3 < x < 0: $+$$-$$-$ > 0
3. x > 0: $+$$+$$+$ > 0

Таким образом, неравенство X^3 + 3x^2 > 0 выполняется на интервалах $-3,0$ и $0,+\infty$.