X^3+3x^2=0 решите уравнения и неравенства используяразложегие многочленов на множетели

Чтобы решить уравнение ( x^3 + 3x^2 = 0 ), нужно разложить многочлен на множители. Вот как это можно сделать:

1. Вынесение общего множителя за скобку:

   Заметим, что каждый член многочлена содержит ( x^2 ). Поэтому мы можем вынести ( x^2 ) за скобку:

   [ x^3 + 3x^2 = x^2(x + 3) = 0 ]

2. Решение уравнения:

   После разложения на множители у нас получается произведение двух множителей, равное нулю. Согласно нулевому произведению, если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Поэтому решаем следующие уравнения:

   [ x^2 = 0 ]

   и

   [ x + 3 = 0 ]

   • Для уравнения ( x^2 = 0 ), решением является ( x = 0 ).
   • Для уравнения ( x + 3 = 0 ), решением является ( x = -3 ).

   Итак, уравнение ( x^3 + 3x^2 = 0 ) имеет два решения: ( x = 0 ) и ( x = -3 ).

3. Решение неравенства:

   Рассмотрим неравенство ( x^3 + 3x^2 > 0 ). Используя разложение на множители, мы имеем:

   [ x^2(x + 3) > 0 ]

   Для решения этого неравенства рассмотрим знаки каждого множителя:

   • ( x^2 ) всегда неотрицательно, и оно равно нулю только при ( x = 0 ).
   • ( x + 3 ) положительно при ( x > -3 ) и отрицательно при ( x < -3 ).

   Произведение ( x^2(x + 3) ) будет положительным в случаях, когда:

   • ( x^2 > 0 ) и ( x + 3 > 0 ): это соответствует ( x > -3 ), исключая ( x = 0 ).

   Таким образом, решение неравенства ( x^3 + 3x^2 > 0 ) будет промежуток ( (-3, 0) \cup (0, \infty) ).

   Объединив все результаты, получаем:

   • Уравнение ( x^3 + 3x^2 = 0 ) имеет решения ( x = 0 ) и ( x = -3 ).
   • Неравенство ( x^3 + 3x^2 > 0 ) выполняется на промежутках ( (-3, 0) \cup (0, \infty) ).

Для решения уравнения X^3 + 3x^2 = 0 сначала вынесем общий множитель x^2:

x^2 * (x + 3) = 0

Теперь мы имеем произведение двух множителей, один из которых равен нулю. Это значит, что либо x^2 = 0, либо x + 3 = 0. Рассмотрим оба случая:

1. x^2 = 0 Так как x^2 равен нулю, то x также равен нулю.

2. x + 3 = 0 Вычитаем 3 с обеих сторон: x = -3

Итак, уравнение X^3 + 3x^2 = 0 имеет два корня: x = 0 и x = -3.

Теперь рассмотрим неравенство X^3 + 3x^2 > 0. Для этого найдем интервалы, где данное выражение положительно.

Разложим многочлен на множители: x^2 * (x + 3) > 0

Из решения уравнения мы знаем, что корни уравнения равны 0 и -3. Построим таблицу знаков для каждого интервала:

1. x < -3: (-)(-)(-) < 0
2. -3 < x < 0: (+)(-)(-) > 0
3. x > 0: (+)(+)(+) > 0

Таким образом, неравенство X^3 + 3x^2 > 0 выполняется на интервалах (-3, 0) и (0, +∞).