Y=(1)/(x-4) найти функцию обратную данной и построить график

Функция обратная данной: x=(1)/(y-4), график можно построить, отразив график y=(1)/(x-4) относительно y=x.

Для нахождения обратной функции ( y = \frac{1}{x-4} ), нужно выполнить следующие шаги:

1. Обозначим исходную функцию ( y = \frac{1}{x-4} ).
2. Поменяем местами ( x ) и ( y ): ( x = \frac{1}{y-4} ).
3. Решим полученное уравнение относительно ( y ).

Рассмотрим уравнение ( x = \frac{1}{y-4} ). Чтобы выразить ( y ), умножим обе стороны на ( y-4 ): [ x(y-4) = 1. ]

Далее раскроем скобки: [ xy - 4x = 1. ]

Теперь выразим ( y ): [ xy = 1 + 4x, ] [ y = \frac{1 + 4x}{x}. ]

Итак, обратная функция для ( y = \frac{1}{x-4} ) имеет вид: [ y = \frac{4x + 1}{x}. ]

Теперь построим графики исходной функции и её обратной функции.

График исходной функции ( y = \frac{1}{x-4} ):

1. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота при ( x = 4 ) (деление на ноль).
   • Горизонтальная асимптота при ( y = 0 ) (при ( x \to \pm\infty ), ( y \to 0 )).

2. Поведем график:

   • При ( x \to 4^+ ), ( y \to +\infty ).
   • При ( x \to 4^- ), ( y \to -\infty ).
   • При ( x = 5 ), ( y = \frac{1}{1} = 1 ).
   • При ( x = 3 ), ( y = \frac{1}{-1} = -1 ).

График обратной функции ( y = \frac{4x + 1}{x} ):

1. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота при ( x = 0 ) (деление на ноль).
   • Горизонтальная асимптота при ( y = 4 ) (при ( x \to \pm\infty ), ( y \to 4 )).

2. Поведем график:

   • При ( x \to 0^+ ), ( y \to +\infty ).
   • При ( x \to 0^- ), ( y \to -\infty ).
   • При ( x = 1 ), ( y = \frac{4 \cdot 1 + 1}{1} = 5 ).
   • При ( x = -1 ), ( y = \frac{4 \cdot (-1) + 1}{-1} = 3 ).

Графически, исходная функция и её обратная функция будут зеркальными отражениями относительно прямой ( y = x ).

Для того чтобы найти функцию обратную данной, нужно сначала выразить x через y. Для этого перепишем уравнение y = 1/(x-4) в виде x = 1/(y) + 4. Теперь можем записать функцию обратную данной как f^(-1)(x) = 1/(x) + 4.

Чтобы построить график функции и ее обратной, нужно найти точки пересечения с осями координат. Для исходной функции y = 1/(x-4) точка пересечения с осью y будет (0, -1/4), а с осью x будет (4, 0). Для функции обратной f^(-1)(x) = 1/(x) + 4 точка пересечения с осью y будет (0, 4), а с осью x будет (1, 0).

Построим график функции и ее обратной на одном графике. В результате получим две гиперболы, симметричные относительно прямой y=x.