Y=x^2-|4x+7| построить график

Чтобы построить график функции ( y = x^2 - |4x + 7| ), нужно рассмотреть поведение функции с учетом модуля ( |4x + 7| ).

1. Разделим функцию на кусочные определения: Модуль ( |4x + 7| ) зависит от знака выражения внутри него. Рассмотрим два случая:

   • Когда ( 4x + 7 \geq 0 ): В этом случае ( |4x + 7| = 4x + 7 ). Условие ( 4x + 7 \geq 0 ) эквивалентно ( x \geq -\frac{7}{4} ).

     Функция принимает вид: [ y = x^2 - (4x + 7) = x^2 - 4x - 7 ]

   • Когда ( 4x + 7 < 0 ): В этом случае ( |4x + 7| = -(4x + 7) = -4x - 7 ). Условие ( 4x + 7 < 0 ) эквивалентно ( x < -\frac{7}{4} ).

     Функция принимает вид: [ y = x^2 - (-4x - 7) = x^2 + 4x + 7 ]

2. Построим графики каждой части функции: Теперь у нас есть две кусочные функции:

   • Для ( x \geq -\frac{7}{4} ): [ y = x^2 - 4x - 7 ] Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину этой параболы. Вершина параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ).

     Для ( y = x^2 - 4x - 7 ): [ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ] Подставим ( x = 2 ) в уравнение, чтобы найти значение y: [ y = 2^2 - 4 \cdot 2 - 7 = 4 - 8 - 7 = -11 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (2, -11) ).

   • Для ( x < -\frac{7}{4} ): [ y = x^2 + 4x + 7 ] Это также парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину этой параболы.

     Для ( y = x^2 + 4x + 7 ): [ x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 ] Подставим ( x = -2 ) в уравнение, чтобы найти значение y: [ y = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (-2, 3) ).

3. Общий график функции: Теперь нужно объединить обе части графика, учитывая, что они определены на разных интервалах.

   • На интервале ( x \geq -\frac{7}{4} ), график функции является параболой ( y = x^2 - 4x - 7 ).
   • На интервале ( x < -\frac{7}{4} ), график функции является параболой ( y = x^2 + 4x + 7 ).

4. Ключевые точки:

   • В точке ( x = -\frac{7}{4} ): Подставим ( x = -\frac{7}{4} ) в исходную функцию, чтобы найти значение y: [ y = \left(-\frac{7}{4}\right)^2 - |4 \cdot -\frac{7}{4} + 7| ] [ y = \frac{49}{16} - 0 = \frac{49}{16} ] Таким образом, точка ( \left(-\frac{7}{4}, \frac{49}{16}\right) ) является точкой перехода между двумя частями функции.

Построив обе параболы и отметив ключевые точки, можно получить полный график функции ( y = x^2 - |4x + 7| ).

Для того чтобы построить график функции y=x^2-|4x+7|, нам необходимо разбить эту функцию на две части: одну для случая 4x+7 ≥ 0 и другую для случая 4x+7 < 0.

1. Когда 4x+7 ≥ 0: Для этого случая модуль |4x+7| можно просто заменить на выражение внутри модуля, то есть y=x^2-(4x+7)=x^2-4x-7. Теперь у нас есть функция для этого случая.

2. Когда 4x+7 < 0: Для этого случая модуль |4x+7| превращается в противоположное значение, то есть -(4x+7)=-4x-7. Теперь у нас есть функция для этого случая: y=x^2-(-4x-7)=x^2+4x+7.

Теперь мы можем построить графики обеих функций на одном графике, чтобы получить полный график функции y=x^2-|4x+7|. График будет иметь форму параболы, но с некоторыми изменениями в зависимости от того, в какой части координатной плоскости находится точка (4x+7).

График функции y=x^2-|4x+7| будет иметь форму параболы с ветвями вниз и двумя точками перегиба.