Y= - x/(x^2+196) найдите точку минимума функции

Для нахождения точки минимума функции Y = - x/(x^2 + 196) необходимо продифференцировать данную функцию и приравнять производную к нулю, чтобы найти точку, где функция достигает своего минимума.

Y' = (x^2 + 196) (-1) - (-x) 2x / (x^2 + 196)^2 Y' = -x^2 - 196 + 2x^2 / (x^2 + 196)^2 Y' = (x^2 - 196) / (x^2 + 196)^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку минимума:

(x^2 - 196) = 0 x^2 = 196 x = ±14

Таким образом, точки минимума функции находятся при x = -14 и x = 14. Для нахождения соответствующих значений Y подставим эти значения обратно в исходное уравнение.

Для нахождения точки минимума функции необходимо взять производную и приравнять её к нулю.

Чтобы найти точку минимума функции ( Y = -\frac{x}{x^2 + 196} ), нужно сначала найти ее критические точки. Это делается с помощью производной функции.

1. Найдем первую производную функции:

   Функция имеет вид ( Y = -\frac{x}{x^2 + 196} ). Используем правило дифференцирования частного:

   [ Y' = \frac{(x^2 + 196)(-1) - (-x)(2x)}{(x^2 + 196)^2} ]

   Упростим числитель:

   [ Y' = \frac{-(x^2 + 196) + 2x^2}{(x^2 + 196)^2} = \frac{x^2 - 196}{(x^2 + 196)^2} ]

2. Найдем критические точки:

   Критические точки находятся, когда ( Y' = 0 ) или ( Y' ) не определена. Производная ( Y' ) не определена, когда знаменатель равен нулю, но в данном случае знаменатель ( (x^2 + 196)^2 \neq 0 ) для всех ( x ), так как сумма квадратов и положительного числа всегда положительна. Поэтому, ищем, когда числитель равен нулю:

   [ x^2 - 196 = 0 ]

   [ x^2 = 196 ]

   [ x = \pm 14 ]

3. Исследуем знак производной для определения минимума:

   Выберем тестовые точки в интервалах, разделенных критическими точками ( x = -14 ) и ( x = 14 ), чтобы определить знак первой производной в этих интервалах:

   • Для ( x < -14 ), например, ( x = -15 ): [ Y' = \frac{(-15)^2 - 196}{((-15)^2 + 196)^2} = \frac{225 - 196}{(225 + 196)^2} > 0 ]

   • Для ( -14 < x < 14 ), например, ( x = 0 ): [ Y' = \frac{0^2 - 196}{(0^2 + 196)^2} = \frac{-196}{196^2} < 0 ]

   • Для ( x > 14 ), например, ( x = 15 ): [ Y' = \frac{15^2 - 196}{(15^2 + 196)^2} = \frac{225 - 196}{(225 + 196)^2} > 0 ]

   Из этих расчетов видно, что производная меняет знак с положительного на отрицательный в ( x = -14 ) и с отрицательного на положительный в ( x = 14 ).

4. Заключение:

   Следовательно, ( x = 14 ) является точкой минимума функции, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный. Чтобы подтвердить, подставим ( x = 14 ) в исходную функцию:

   [ Y = -\frac{14}{14^2 + 196} = -\frac{14}{392} ]

   Таким образом, точка минимума функции ((-14, -\frac{1}{28})).