За круглым столом сидят 180 человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Каждый из них произнес фразу:...

Давайте разберемся с задачей. У нас есть 180 человек, и каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый человек за столом утверждает: «Среди 17 человек, сидящих следом за мной по часовой стрелке, не менее 9 лжецов».

Чтобы выяснить, сколько рыцарей может сидеть за столом, рассмотрим следующее:

1. Утверждение рыцаря: Если человек — рыцарь, его утверждение должно быть правдой, то есть среди следующих 17 человек должно быть по крайней мере 9 лжецов.

2. Утверждение лжеца: Если человек — лжец, его утверждение должно быть ложным, то есть среди следующих 17 человек должно быть менее 9 лжецов, то есть 8 или меньше.

Теперь представим, что у нас есть ( R ) рыцарей. Тогда среди любых 17 подряд идущих человек должно быть по крайней мере 9 лжецов, чтобы утверждение рыцаря было правдой. Это значит, что среди каждых 17 человек может быть не более 8 рыцарей.

Теперь рассчитаем максимально возможное количество рыцарей. Если мы предположим, что в каждой группе из 17 человек ровно 8 рыцарей и 9 лжецов, то:

[ \text{Количество лжецов} = \frac{180}{17} \times 9 ]

Однако 180 не делится на 17 нацело, но мы же ищем максимально возможное количество рыцарей. Давайте подсчитаем, если ( R = 80 ), то:

[ 180 - R = 100 \quad (\text{лжецов}) ]

Проверим это распределение. Если на столе 80 рыцарей и каждый из них говорит правду, то в каждой группе из 17 человек должно быть по крайней мере 9 лжецов.

Разделим 180 человек на группы по 17 человек. Каждый раз, когда мы проходим через человека, который рыцарь, утверждение остаётся верным, если в этих 17 людях есть 9 лжецов.

Такое расположение возможно, если каждый рыцарь окружен таким образом, что его утверждение остаётся правдой. Поэтому, если мы распределим рыцарей и лжецов таким образом, чтобы выполнялось условие задачи, то 80 — это максимальное количество рыцарей, которые могут сидеть за столом, при условии, что распределение будет удовлетворять условия задачи.

Таким образом, за столом может сидеть максимум 80 рыцарей.

Предположим, что за столом сидит х рыцарей и у лжецов их количество будет равняться 180 - х. Так как каждый рыцарь говорит правду, то в первом круге, за каждым рыцарем, должно быть не менее 9 лжецов.

Таким образом, количество лжецов за столом должно быть не меньше, чем 9 * х. Но также известно, что общее количество лжецов равно 180 - х. Поэтому мы можем записать уравнение: 180 - х >= 9x.

Решив это уравнение, получаем: 180 >= 10x, x

Рыцарей за круглым столом может быть 20.